Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82960 / 115728
↖ ↑ ↗
← S 79.695048°
E 47.856445°		 ← 54.64 m → S 79.695048°
E 47.859192°		 →
↑
54.66 m
↓
↑
54.66 m
↓
S 79.695540°
E 47.856445°		 ← 54.63 m →
2 987 m²		 S 79.695540°
E 47.859192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632938385009766 y=0.882938385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632938385009766 × 217)
    floor (0.632938385009766 × 131072)
    floor (82960.5)     		tx = 82960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882938385009766 × 217)
    floor (0.882938385009766 × 131072)
    floor (115728.5)     		ty = 115728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82960 / 115728 ti = "17/82960/115728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82960/115728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82960 ÷ 217
    82960 ÷ 131072     		x = 0.6329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115728 ÷ 217
    115728 ÷ 131072     		y = 0.8829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6329345703125 × 2 - 1) × π
    0.265869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83525254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.765869140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40604886572986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83525254} λ = 0.83525254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40604886572986))-π/2
    2×atan(0.0901708688589036)-π/2
    2×0.0899276675445434-π/2
    0.179855335089087-1.57079632675     		φ = -1.39094099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83525254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.856445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39094099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.695048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82960 KachelY 115728 0.83525254 -1.39094099 47.856445 -79.695048
    Oben rechts KachelX + 1 82961 KachelY 115728 0.83530048 -1.39094099 47.859192 -79.695048
    Unten links KachelX 82960 KachelY + 1 115729 0.83525254 -1.39094957 47.856445 -79.695540
    Unten rechts KachelX + 1 82961 KachelY + 1 115729 0.83530048 -1.39094957 47.859192 -79.695540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39094099--1.39094957) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dl = 54.663180000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39094099--1.39094957) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dr = 54.663180000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83525254-0.83530048) × cos(-1.39094099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178887245571085 × 6371000     		do = 54.6367693550747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83525254-0.83530048) × cos(-1.39094957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178878803963492 × 6371000     		du = 54.6341910708286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39094099)-sin(-1.39094957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178887245571085-0.178878803963492)×R²
    abs(0.83530048-0.83525254)×8.44160759358448e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.44160759358448e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.44160759358448e-06×40589641000000     		ar = 2986.54908938965m²