Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82976 / 50208
↖ ↑ ↗
← N 38.754083°
E 47.900391°		 ← 238.18 m → N 38.754083°
E 47.903137°		 →
↑
238.15 m
↓
↑
238.15 m
↓
N 38.751941°
E 47.900391°		 ← 238.19 m →
56 724 m²		 N 38.751941°
E 47.903137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633060455322266 y=0.383060455322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633060455322266 × 217)
    floor (0.633060455322266 × 131072)
    floor (82976.5)     		tx = 82976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383060455322266 × 217)
    floor (0.383060455322266 × 131072)
    floor (50208.5)     		ty = 50208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82976 / 50208 ti = "17/82976/50208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82976/50208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82976 ÷ 217
    82976 ÷ 131072     		x = 0.633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50208 ÷ 217
    50208 ÷ 131072     		y = 0.383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633056640625 × 2 - 1) × π
    0.26611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83601953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    0.23388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.734776797376221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83601953} λ = 0.83601953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.734776797376221))-π/2
    2×atan(2.08501655939733)-π/2
    2×1.12359133926657-π/2
    2.24718267853315-1.57079632675     		φ = 0.67638635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83601953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67638635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.754083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82976 KachelY 50208 0.83601953 0.67638635 47.900391 38.754083
    Oben rechts KachelX + 1 82977 KachelY 50208 0.83606747 0.67638635 47.903137 38.754083
    Unten links KachelX 82976 KachelY + 1 50209 0.83601953 0.67634897 47.900391 38.751941
    Unten rechts KachelX + 1 82977 KachelY + 1 50209 0.83606747 0.67634897 47.903137 38.751941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67638635-0.67634897) × R
    3.73799999999758e-05 × 6371000     		dl = 238.147979999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67638635-0.67634897) × R
    3.73799999999758e-05 × 6371000     		dr = 238.147979999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83601953-0.83606747) × cos(0.67638635) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.779839874768796 × 6371000     		do = 238.183170833162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83601953-0.83606747) × cos(0.67634897) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.779863273320819 × 6371000     		du = 238.190317353229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67638635)-sin(0.67634897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779839874768796-0.779863273320819)×R²
    abs(0.83606747-0.83601953)×2.33985520229352e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.33985520229352e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.33985520229352e-05×40589641000000     		ar = 56723.691975171m²