Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 830 / 1342
↖ ↑ ↗
← S 48.690960°
W 34.101563°		 ← 12.903 km → S 48.690960°
W 33.925781°		 →
↑
12.888 km
↓
↑
12.888 km
↓
S 48.806863°
W 34.101563°		 ← 12.873 km →
166.097 km²		 S 48.806863°
W 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405517578125 y=0.655517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405517578125 × 211)
    floor (0.405517578125 × 2048)
    floor (830.5)     		tx = 830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655517578125 × 211)
    floor (0.655517578125 × 2048)
    floor (1342.5)     		ty = 1342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 830 / 1342 ti = "11/830/1342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/830/1342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 830 ÷ 211
    830 ÷ 2048     		x = 0.4052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1342 ÷ 211
    1342 ÷ 2048     		y = 0.6552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4052734375 × 2 - 1) × π
    -0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6552734375 × 2 - 1) × π
    -0.310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.975611781067383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59518455} λ = -0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975611781067383))-π/2
    2×atan(0.37696166499513)-π/2
    2×0.360489376016754-π/2
    0.720978752033509-1.57079632675     		φ = -0.84981757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84981757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.690960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 830 KachelY 1342 -0.59518455 -0.84981757 -34.101563 -48.690960
    Oben rechts KachelX + 1 831 KachelY 1342 -0.59211658 -0.84981757 -33.925781 -48.690960
    Unten links KachelX 830 KachelY + 1 1343 -0.59518455 -0.85184046 -34.101563 -48.806863
    Unten rechts KachelX + 1 831 KachelY + 1 1343 -0.59211658 -0.85184046 -33.925781 -48.806863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84981757--0.85184046) × R
    0.00202289 × 6371000     		dl = 12887.83219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84981757--0.85184046) × R
    0.00202289 × 6371000     		dr = 12887.83219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59518455--0.59211658) × cos(-0.84981757) × R
    0.00306797000000003 × 0.66012019098618 × 6371000     		do = 12902.7335916474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59518455--0.59211658) × cos(-0.85184046) × R
    0.00306797000000003 × 0.658599327353307 × 6371000     		du = 12873.0067350051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84981757)-sin(-0.85184046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66012019098618-0.658599327353307)×R²
    abs(-0.59211658--0.59518455)×0.00152086363287296×R²
    0.00306797000000003×0.00152086363287296×6371000²
    0.00306797000000003×0.00152086363287296×40589641000000     		ar = 166096764.591611m²