Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83008 / 115776
↖ ↑ ↗
← S 79.718605°
E 47.988281°		 ← 54.51 m → S 79.718605°
E 47.991028°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
S 79.719096°
E 47.988281°		 ← 54.51 m →
2 973 m²		 S 79.719096°
E 47.991028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633304595947266 y=0.883304595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633304595947266 × 217)
    floor (0.633304595947266 × 131072)
    floor (83008.5)     		tx = 83008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883304595947266 × 217)
    floor (0.883304595947266 × 131072)
    floor (115776.5)     		ty = 115776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83008 / 115776 ti = "17/83008/115776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83008/115776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83008 ÷ 217
    83008 ÷ 131072     		x = 0.63330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115776 ÷ 217
    115776 ÷ 131072     		y = 0.88330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    0.2666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83755351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88330078125 × 2 - 1) × π
    -0.7666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40834983691162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83755351} λ = 0.83755351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40834983691162))-π/2
    2×atan(0.0899636268086538)-π/2
    2×0.0897220931370342-π/2
    0.179444186274068-1.57079632675     		φ = -1.39135214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83755351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39135214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.718605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83008 KachelY 115776 0.83755351 -1.39135214 47.988281 -79.718605
    Oben rechts KachelX + 1 83009 KachelY 115776 0.83760145 -1.39135214 47.991028 -79.718605
    Unten links KachelX 83008 KachelY + 1 115777 0.83755351 -1.39136070 47.988281 -79.719096
    Unten rechts KachelX + 1 83009 KachelY + 1 115777 0.83760145 -1.39136070 47.991028 -79.719096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39135214--1.39136070) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dl = 54.5357599995877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39135214--1.39136070) × R
    8.55999999993529e-06 × 6371000     		dr = 54.5357599995877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83755351-0.83760145) × cos(-1.39135214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178482712484118 × 6371000     		do = 54.5132145376334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83755351-0.83760145) × cos(-1.39136070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17847428992509 × 6371000     		du = 54.5106420713095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39135214)-sin(-1.39136070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178482712484118-0.17847428992509)×R²
    abs(0.83760145-0.83755351)×8.42255902816502e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.42255902816502e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.42255902816502e-06×40589641000000     		ar = 2972.84943910662m²