Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8312 / 8344
↖ ↑ ↗
← S  3.337954°
E  2.636719°		 ← 2 439.13 m → S  3.337954°
E  2.658691°		 →
↑
2 439.07 m
↓
↑
2 439.07 m
↓
S  3.359889°
E  2.636719°		 ← 2 439.08 m →
5 949 159 m²		 S  3.359889°
E  2.658691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507354736328125 y=0.509307861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507354736328125 × 214)
    floor (0.507354736328125 × 16384)
    floor (8312.5)     		tx = 8312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509307861328125 × 214)
    floor (0.509307861328125 × 16384)
    floor (8344.5)     		ty = 8344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8312 / 8344 ti = "14/8312/8344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8312/8344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8312 ÷ 214
    8312 ÷ 16384     		x = 0.50732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8344 ÷ 214
    8344 ÷ 16384     		y = 0.50927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50732421875 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04601942} λ = 0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0582912699379883))-π/2
    2×atan(0.94337513060001)-π/2
    2×0.756269019944927-π/2
    1.51253803988985-1.57079632675     		φ = -0.05825829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05825829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.337954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8312 KachelY 8344 0.04601942 -0.05825829 2.636719 -3.337954
    Oben rechts KachelX + 1 8313 KachelY 8344 0.04640292 -0.05825829 2.658691 -3.337954
    Unten links KachelX 8312 KachelY + 1 8345 0.04601942 -0.05864113 2.636719 -3.359889
    Unten rechts KachelX + 1 8313 KachelY + 1 8345 0.04640292 -0.05864113 2.658691 -3.359889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05825829--0.05864113) × R
    0.000382840000000002 × 6371000     		dl = 2439.07364000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05825829--0.05864113) × R
    0.000382840000000002 × 6371000     		dr = 2439.07364000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04601942-0.04640292) × cos(-0.05825829) × R
    0.000383500000000002 × 0.998303465745026 × 6371000     		do = 2439.13339433032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04601942-0.04640292) × cos(-0.05864113) × R
    0.000383500000000002 × 0.998281101597292 × 6371000     		du = 2439.07875248899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05825829)-sin(-0.05864113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998303465745026-0.998281101597292)×R²
    abs(0.04640292-0.04601942)×2.23641477338221e-05×R²
    0.000383500000000002×2.23641477338221e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.23641477338221e-05×40589641000000     		ar = 5949159.40147965m²