Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 832 / 1472
↖ ↑ ↗
← S 61.606397°
W 33.750000°		 ← 9 294.62 m → S 61.606397°
W 33.574219°		 →
↑
9 282.04 m
↓
↑
9 282.04 m
↓
S 61.689872°
W 33.750000°		 ← 9 269.56 m →
86 156 702 m²		 S 61.689872°
W 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406494140625 y=0.718994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406494140625 × 211)
    floor (0.406494140625 × 2048)
    floor (832.5)     		tx = 832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718994140625 × 211)
    floor (0.718994140625 × 2048)
    floor (1472.5)     		ty = 1472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 832 / 1472 ti = "11/832/1472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/832/1472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 832 ÷ 211
    832 ÷ 2048     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1472 ÷ 211
    1472 ÷ 2048     		y = 0.71875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71875 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37444678590625))-π/2
    2×atan(0.252979508929992)-π/2
    2×0.2477809349221-π/2
    0.4955618698442-1.57079632675     		φ = -1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 832 KachelY 1472 -0.58904862 -1.07523446 -33.750000 -61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 833 KachelY 1472 -0.58598066 -1.07523446 -33.574219 -61.606397
    Unten links KachelX 832 KachelY + 1 1473 -0.58904862 -1.07669138 -33.750000 -61.689872
    Unten rechts KachelX + 1 833 KachelY + 1 1473 -0.58598066 -1.07669138 -33.574219 -61.689872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07523446--1.07669138) × R
    0.00145692000000008 × 6371000     		dl = 9282.03732000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07523446--1.07669138) × R
    0.00145692000000008 × 6371000     		dr = 9282.03732000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.58598066) × cos(-1.07523446) × R
    0.00306795999999998 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 9294.61846144174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.58598066) × cos(-1.07669138) × R
    0.00306795999999998 × 0.474243842283262 × 6371000     		du = 9269.55741256385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07523446)-sin(-1.07669138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.474243842283262)×R²
    abs(-0.58598066--0.58904862)×0.00128215917789054×R²
    0.00306795999999998×0.00128215917789054×6371000²
    0.00306795999999998×0.00128215917789054×40589641000000     		ar = 86156701.8785773m²