Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 832 / 321
↖ ↑ ↗
← N 55.578345°
E112.500000°		 ← 22.098 km → N 55.578345°
E112.851562°		 →
↑
22.154 km
↓
↑
22.154 km
↓
N 55.379110°
E112.500000°		 ← 22.210 km →
490.794 km²		 N 55.379110°
E112.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81298828125 y=0.31396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81298828125 × 210)
    floor (0.81298828125 × 1024)
    floor (832.5)     		tx = 832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31396484375 × 210)
    floor (0.31396484375 × 1024)
    floor (321.5)     		ty = 321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 832 / 321 ti = "10/832/321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/832/321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 832 ÷ 210
    832 ÷ 1024     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 321 ÷ 210
    321 ÷ 1024     		y = 0.3134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3134765625 × 2 - 1) × π
    0.373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17196132191113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17196132191113))-π/2
    2×atan(3.22831820449576)-π/2
    2×1.27041071705689-π/2
    2.54082143411379-1.57079632675     		φ = 0.97002511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97002511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.578345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 832 KachelY 321 1.96349541 0.97002511 112.500000 55.578345
    Oben rechts KachelX + 1 833 KachelY 321 1.96963133 0.97002511 112.851562 55.578345
    Unten links KachelX 832 KachelY + 1 322 1.96349541 0.96654781 112.500000 55.379110
    Unten rechts KachelX + 1 833 KachelY + 1 322 1.96963133 0.96654781 112.851562 55.379110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97002511-0.96654781) × R
    0.00347730000000002 × 6371000     		dl = 22153.8783000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97002511-0.96654781) × R
    0.00347730000000002 × 6371000     		dr = 22153.8783000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-1.96963133) × cos(0.97002511) × R
    0.00613591999999996 × 0.56527881810188 × 6371000     		do = 22097.8492130716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-1.96963133) × cos(0.96654781) × R
    0.00613591999999996 × 0.568143819206898 × 6371000     		du = 22209.8476824757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97002511)-sin(0.96654781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56527881810188-0.568143819206898)×R²
    abs(1.96963133-1.96349541)×0.00286500110501742×R²
    0.00613591999999996×0.00286500110501742×6371000²
    0.00613591999999996×0.00286500110501742×40589641000000     		ar = 490794156.929925m²