Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 832 / 64
↖ ↑ ↗
← N 82.676285°
E112.500000°		 ← 4 983.25 m → N 82.676285°
E112.851562°		 →
↑
4 998.50 m
↓
↑
4 998.50 m
↓
N 82.631333°
E112.500000°		 ← 5 013.67 m →
24 984 785 m²		 N 82.631333°
E112.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81298828125 y=0.06298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81298828125 × 210)
    floor (0.81298828125 × 1024)
    floor (832.5)     		tx = 832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06298828125 × 210)
    floor (0.06298828125 × 1024)
    floor (64.5)     		ty = 64
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 832 / 64 ti = "10/832/64"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/832/64.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 832 ÷ 210
    832 ÷ 1024     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64 ÷ 210
    64 ÷ 1024     		y = 0.0625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0625 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Φ = 2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7488935718125))-π/2
    2×atan(15.6253340065392)-π/2
    2×1.5068848564871-π/2
    3.0137697129742-1.57079632675     		φ = 1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 832 KachelY 64 1.96349541 1.44297339 112.500000 82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 833 KachelY 64 1.96963133 1.44297339 112.851562 82.676285
    Unten links KachelX 832 KachelY + 1 65 1.96349541 1.44218882 112.500000 82.631333
    Unten rechts KachelX + 1 833 KachelY + 1 65 1.96963133 1.44218882 112.851562 82.631333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44297339-1.44218882) × R
    0.000784569999999984 × 6371000     		dl = 4998.4954699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44297339-1.44218882) × R
    0.000784569999999984 × 6371000     		dr = 4998.4954699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-1.96963133) × cos(1.44297339) × R
    0.00613591999999996 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 4983.25149433309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-1.96963133) × cos(1.44218882) × R
    0.00613591999999996 × 0.128253274183776 × 6371000     		du = 5013.67010975638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44297339)-sin(1.44218882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.128253274183776)×R²
    abs(1.96963133-1.96349541)×0.000778129980387593×R²
    0.00613591999999996×0.000778129980387593×6371000²
    0.00613591999999996×0.000778129980387593×40589641000000     		ar = 24984784.9576101m²