Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8320 / 24704
↖ ↑ ↗
← S 67.067433°
W 88.593750°		 ← 475.98 m → S 67.067433°
W 88.582764°		 →
↑
475.98 m
↓
↑
475.98 m
↓
S 67.071714°
W 88.593750°		 ← 475.90 m →
226 538 m²		 S 67.071714°
W 88.582764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.253921508789062 y=0.753921508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.253921508789062 × 215)
    floor (0.253921508789062 × 32768)
    floor (8320.5)     		tx = 8320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753921508789062 × 215)
    floor (0.753921508789062 × 32768)
    floor (24704.5)     		ty = 24704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8320 / 24704 ti = "15/8320/24704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8320/24704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8320 ÷ 215
    8320 ÷ 32768     		x = 0.25390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24704 ÷ 215
    24704 ÷ 32768     		y = 0.75390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25390625 × 2 - 1) × π
    -0.4921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.54625263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75390625 × 2 - 1) × π
    -0.5078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54625263} λ = -1.54625263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59534001935547))-π/2
    2×atan(0.202839547403583)-π/2
    2×0.200124396987206-π/2
    0.400248793974412-1.57079632675     		φ = -1.17054753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54625263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17054753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.067433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8320 KachelY 24704 -1.54625263 -1.17054753 -88.593750 -67.067433
    Oben rechts KachelX + 1 8321 KachelY 24704 -1.54606089 -1.17054753 -88.582764 -67.067433
    Unten links KachelX 8320 KachelY + 1 24705 -1.54625263 -1.17062224 -88.593750 -67.071714
    Unten rechts KachelX + 1 8321 KachelY + 1 24705 -1.54606089 -1.17062224 -88.582764 -67.071714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17054753--1.17062224) × R
    7.47100000000334e-05 × 6371000     		dl = 475.977410000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17054753--1.17062224) × R
    7.47100000000334e-05 × 6371000     		dr = 475.977410000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54625263--1.54606089) × cos(-1.17054753) × R
    0.000191739999999996 × 0.389647487277031 × 6371000     		do = 475.983839680072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54625263--1.54606089) × cos(-1.17062224) × R
    0.000191739999999996 × 0.389578680963293 × 6371000     		du = 475.899787570212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17054753)-sin(-1.17062224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389647487277031-0.389578680963293)×R²
    abs(-1.54606089--1.54625263)×6.88063137377348e-05×R²
    0.000191739999999996×6.88063137377348e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.88063137377348e-05×40589641000000     		ar = 226537.551865527m²