Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8320 / 8320
↖ ↑ ↗
← S  2.811371°
E  2.812500°		 ← 2 440.27 m → S  2.811371°
E  2.834473°		 →
↑
2 440.28 m
↓
↑
2 440.28 m
↓
S  2.833317°
E  2.812500°		 ← 2 440.23 m →
5 954 906 m²		 S  2.833317°
E  2.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507843017578125 y=0.507843017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507843017578125 × 214)
    floor (0.507843017578125 × 16384)
    floor (8320.5)     		tx = 8320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507843017578125 × 214)
    floor (0.507843017578125 × 16384)
    floor (8320.5)     		ty = 8320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8320 / 8320 ti = "14/8320/8320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8320/8320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8320 ÷ 214
    8320 ÷ 16384     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8320 ÷ 214
    8320 ÷ 16384     		y = 0.5078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5078125 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0490873852109375))-π/2
    2×atan(0.95209792678504)-π/2
    2×0.760864321488474-π/2
    1.52172864297695-1.57079632675     		φ = -0.04906768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04906768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.811371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8320 KachelY 8320 0.04908739 -0.04906768 2.812500 -2.811371
    Oben rechts KachelX + 1 8321 KachelY 8320 0.04947088 -0.04906768 2.834473 -2.811371
    Unten links KachelX 8320 KachelY + 1 8321 0.04908739 -0.04945071 2.812500 -2.833317
    Unten rechts KachelX + 1 8321 KachelY + 1 8321 0.04947088 -0.04945071 2.834473 -2.833317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04906768--0.04945071) × R
    0.000383029999999999 × 6371000     		dl = 2440.28413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04906768--0.04945071) × R
    0.000383029999999999 × 6371000     		dr = 2440.28413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.04947088) × cos(-0.04906768) × R
    0.00038349 × 0.9987964229002 × 6371000     		do = 2440.27419262887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.04947088) × cos(-0.04945071) × R
    0.00038349 × 0.998777562780262 × 6371000     		du = 2440.22811330489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04906768)-sin(-0.04945071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9987964229002-0.998777562780262)×R²
    abs(0.04947088-0.04908739)×1.88601199386795e-05×R²
    0.00038349×1.88601199386795e-05×6371000²
    0.00038349×1.88601199386795e-05×40589641000000     		ar = 5954906.23460397m²