Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8324 / 8068
↖ ↑ ↗
← N  2.723583°
E  2.900391°		 ← 2 440.45 m → N  2.723583°
E  2.922363°		 →
↑
2 440.48 m
↓
↑
2 440.48 m
↓
N  2.701635°
E  2.900391°		 ← 2 440.50 m →
5 955 924 m²		 N  2.701635°
E  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508087158203125 y=0.492462158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508087158203125 × 214)
    floor (0.508087158203125 × 16384)
    floor (8324.5)     		tx = 8324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492462158203125 × 214)
    floor (0.492462158203125 × 16384)
    floor (8068.5)     		ty = 8068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8324 / 8068 ti = "14/8324/8068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8324/8068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8324 ÷ 214
    8324 ÷ 16384     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8068 ÷ 214
    8068 ÷ 16384     		y = 0.492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492431640625 × 2 - 1) × π
    0.01513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0475534044230957))-π/2
    2×atan(1.0487022049621)-π/2
    2×0.809165909524794-π/2
    1.61833181904959-1.57079632675     		φ = 0.04753549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04753549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.723583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8324 KachelY 8068 0.05062137 0.04753549 2.900391 2.723583
    Oben rechts KachelX + 1 8325 KachelY 8068 0.05100486 0.04753549 2.922363 2.723583
    Unten links KachelX 8324 KachelY + 1 8069 0.05062137 0.04715243 2.900391 2.701635
    Unten rechts KachelX + 1 8325 KachelY + 1 8069 0.05100486 0.04715243 2.922363 2.701635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04753549-0.04715243) × R
    0.000383059999999998 × 6371000     		dl = 2440.47525999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04753549-0.04715243) × R
    0.000383059999999998 × 6371000     		dr = 2440.47525999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(0.04753549) × R
    0.00038349 × 0.998870401324842 × 6371000     		do = 2440.45493781009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(0.04715243) × R
    0.00038349 × 0.998888530127808 × 6371000     		du = 2440.49923036962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04753549)-sin(0.04715243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998870401324842-0.998888530127808)×R²
    abs(0.05100486-0.05062137)×1.81288029660331e-05×R²
    0.00038349×1.81288029660331e-05×6371000²
    0.00038349×1.81288029660331e-05×40589641000000     		ar = 5955924.01914673m²