Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8328 / 8328
↖ ↑ ↗
← S  2.986928°
E  2.988281°		 ← 2 439.90 m → S  2.986928°
E  3.010254°		 →
↑
2 439.90 m
↓
↑
2 439.90 m
↓
S  3.008870°
E  2.988281°		 ← 2 439.85 m →
5 953 046 m²		 S  3.008870°
E  3.010254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508331298828125 y=0.508331298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508331298828125 × 214)
    floor (0.508331298828125 × 16384)
    floor (8328.5)     		tx = 8328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508331298828125 × 214)
    floor (0.508331298828125 × 16384)
    floor (8328.5)     		ty = 8328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8328 / 8328 ti = "14/8328/8328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8328/8328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8328 ÷ 214
    8328 ÷ 16384     		x = 0.50830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8328 ÷ 214
    8328 ÷ 16384     		y = 0.50830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    -0.0166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05215535} λ = 0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0521553467866211))-π/2
    2×atan(0.949181403108284)-π/2
    2×0.75933230463234-π/2
    1.51866460926468-1.57079632675     		φ = -0.05213172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05213172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.986928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8328 KachelY 8328 0.05215535 -0.05213172 2.988281 -2.986928
    Oben rechts KachelX + 1 8329 KachelY 8328 0.05253884 -0.05213172 3.010254 -2.986928
    Unten links KachelX 8328 KachelY + 1 8329 0.05215535 -0.05251469 2.988281 -3.008870
    Unten rechts KachelX + 1 8329 KachelY + 1 8329 0.05253884 -0.05251469 3.010254 -3.008870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05213172--0.05251469) × R
    0.000382970000000003 × 6371000     		dl = 2439.90187000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05213172--0.05251469) × R
    0.000382970000000003 × 6371000     		dr = 2439.90187000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05215535-0.05253884) × cos(-0.05213172) × R
    0.00038349 × 0.998641449606272 × 6371000     		do = 2439.89555958509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05215535-0.05253884) × cos(-0.05251469) × R
    0.00038349 × 0.998621420530489 × 6371000     		du = 2439.8466242509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05213172)-sin(-0.05251469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998641449606272-0.998621420530489)×R²
    abs(0.05253884-0.05215535)×2.00290757836896e-05×R²
    0.00038349×2.00290757836896e-05×6371000²
    0.00038349×2.00290757836896e-05×40589641000000     		ar = 5953046.11248884m²