Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 833 / 833
↖ ↑ ↗
← S 74.116047°
E112.851562°		 ← 10.699 km → S 74.116047°
E113.203125°		 →
↑
10.668 km
↓
↑
10.668 km
↓
S 74.211983°
E112.851562°		 ← 10.636 km →
113.797 km²		 S 74.211983°
E113.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81396484375 y=0.81396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81396484375 × 210)
    floor (0.81396484375 × 1024)
    floor (833.5)     		tx = 833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.81396484375 × 210)
    floor (0.81396484375 × 1024)
    floor (833.5)     		ty = 833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 833 / 833 ti = "10/833/833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/833/833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 833 ÷ 210
    833 ÷ 1024     		x = 0.8134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 833 ÷ 210
    833 ÷ 1024     		y = 0.8134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8134765625 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96963133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8134765625 × 2 - 1) × π
    -0.626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.96963133158887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96963133} λ = 1.96963133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96963133158887))-π/2
    2×atan(0.139508279031055)-π/2
    2×0.138613640449438-π/2
    0.277227280898877-1.57079632675     		φ = -1.29356905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96963133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29356905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.116047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 833 KachelY 833 1.96963133 -1.29356905 112.851562 -74.116047
    Oben rechts KachelX + 1 834 KachelY 833 1.97576725 -1.29356905 113.203125 -74.116047
    Unten links KachelX 833 KachelY + 1 834 1.96963133 -1.29524344 112.851562 -74.211983
    Unten rechts KachelX + 1 834 KachelY + 1 834 1.97576725 -1.29524344 113.203125 -74.211983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29356905--1.29524344) × R
    0.0016743899999998 × 6371000     		dl = 10667.5386899987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29356905--1.29524344) × R
    0.0016743899999998 × 6371000     		dr = 10667.5386899987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96963133-1.97576725) × cos(-1.29356905) × R
    0.00613592000000018 × 0.273689848953736 × 6371000     		do = 10699.0688836287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96963133-1.97576725) × cos(-1.29524344) × R
    0.00613592000000018 × 0.272079007608098 × 6371000     		du = 10636.097960215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29356905)-sin(-1.29524344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.273689848953736-0.272079007608098)×R²
    abs(1.97576725-1.96963133)×0.00161084134563821×R²
    0.00613592000000018×0.00161084134563821×6371000²
    0.00613592000000018×0.00161084134563821×40589641000000     		ar = 113796885.468704m²