Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8332 / 8316
↖ ↑ ↗
← S  2.723583°
E  3.076172°		 ← 2 440.45 m → S  2.723583°
E  3.098144°		 →
↑
2 440.48 m
↓
↑
2 440.48 m
↓
S  2.745531°
E  3.076172°		 ← 2 440.41 m →
5 955 815 m²		 S  2.745531°
E  3.098144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508575439453125 y=0.507598876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508575439453125 × 214)
    floor (0.508575439453125 × 16384)
    floor (8332.5)     		tx = 8332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507598876953125 × 214)
    floor (0.507598876953125 × 16384)
    floor (8316.5)     		ty = 8316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8332 / 8316 ti = "14/8332/8316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8332/8316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8332 ÷ 214
    8332 ÷ 16384     		x = 0.508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8316 ÷ 214
    8316 ÷ 16384     		y = 0.507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    0.01708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05368933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.01513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05368933} λ = 0.05368933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0475534044230957))-π/2
    2×atan(0.95355954747529)-π/2
    2×0.761630417270103-π/2
    1.52326083454021-1.57079632675     		φ = -0.04753549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05368933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04753549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.723583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8332 KachelY 8316 0.05368933 -0.04753549 3.076172 -2.723583
    Oben rechts KachelX + 1 8333 KachelY 8316 0.05407282 -0.04753549 3.098144 -2.723583
    Unten links KachelX 8332 KachelY + 1 8317 0.05368933 -0.04791855 3.076172 -2.745531
    Unten rechts KachelX + 1 8333 KachelY + 1 8317 0.05407282 -0.04791855 3.098144 -2.745531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04753549--0.04791855) × R
    0.000383059999999998 × 6371000     		dl = 2440.47525999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04753549--0.04791855) × R
    0.000383059999999998 × 6371000     		dr = 2440.47525999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05368933-0.05407282) × cos(-0.04753549) × R
    0.00038349 × 0.998870401324842 × 6371000     		do = 2440.45493781009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05368933-0.05407282) × cos(-0.04791855) × R
    0.00038349 × 0.998852125952665 × 6371000     		du = 2440.4102871505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04753549)-sin(-0.04791855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998870401324842-0.998852125952665)×R²
    abs(0.05407282-0.05368933)×1.82753721762463e-05×R²
    0.00038349×1.82753721762463e-05×6371000²
    0.00038349×1.82753721762463e-05×40589641000000     		ar = 5955815.48728249m²