Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 834 / 1343
↖ ↑ ↗
← S 48.806863°
W 33.398438°		 ← 12.873 km → S 48.806863°
W 33.222656°		 →
↑
12.858 km
↓
↑
12.858 km
↓
S 48.922499°
W 33.398438°		 ← 12.843 km →
165.331 km²		 S 48.922499°
W 33.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407470703125 y=0.656005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407470703125 × 211)
    floor (0.407470703125 × 2048)
    floor (834.5)     		tx = 834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656005859375 × 211)
    floor (0.656005859375 × 2048)
    floor (1343.5)     		ty = 1343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 834 / 1343 ti = "11/834/1343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/834/1343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 834 ÷ 211
    834 ÷ 2048     		x = 0.4072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1343 ÷ 211
    1343 ÷ 2048     		y = 0.65576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65576171875 × 2 - 1) × π
    -0.3115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.978679742643066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58291270} λ = -0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978679742643066))-π/2
    2×atan(0.375806933333335)-π/2
    2×0.359477930923034-π/2
    0.718955861846068-1.57079632675     		φ = -0.85184046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85184046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.806863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 834 KachelY 1343 -0.58291270 -0.85184046 -33.398438 -48.806863
    Oben rechts KachelX + 1 835 KachelY 1343 -0.57984474 -0.85184046 -33.222656 -48.806863
    Unten links KachelX 834 KachelY + 1 1344 -0.58291270 -0.85385869 -33.398438 -48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 835 KachelY + 1 1344 -0.57984474 -0.85385869 -33.222656 -48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85184046--0.85385869) × R
    0.00201823000000001 × 6371000     		dl = 12858.1433300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85184046--0.85385869) × R
    0.00201823000000001 × 6371000     		dr = 12858.1433300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58291270--0.57984474) × cos(-0.85184046) × R
    0.00306795999999998 × 0.658599327353307 × 6371000     		do = 12872.9647756417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58291270--0.57984474) × cos(-0.85385869) × R
    0.00306795999999998 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 12843.2540000508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85184046)-sin(-0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658599327353307-0.657079281492828)×R²
    abs(-0.57984474--0.58291270)×0.00152004586047905×R²
    0.00306795999999998×0.00152004586047905×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152004586047905×40589641000000     		ar = 165331469.581483m²