Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 834 / 1474
↖ ↑ ↗
← S 61.773123°
W 33.398438°		 ← 9 244.54 m → S 61.773123°
W 33.222656°		 →
↑
9 232.09 m
↓
↑
9 232.09 m
↓
S 61.856149°
W 33.398438°		 ← 9 219.58 m →
85 231 226 m²		 S 61.856149°
W 33.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407470703125 y=0.719970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407470703125 × 211)
    floor (0.407470703125 × 2048)
    floor (834.5)     		tx = 834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719970703125 × 211)
    floor (0.719970703125 × 2048)
    floor (1474.5)     		ty = 1474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 834 / 1474 ti = "11/834/1474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/834/1474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 834 ÷ 211
    834 ÷ 2048     		x = 0.4072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1474 ÷ 211
    1474 ÷ 2048     		y = 0.7197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7197265625 × 2 - 1) × π
    -0.439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58291270} λ = -0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38058270905762))-π/2
    2×atan(0.251431998661621)-π/2
    2×0.246325971794247-π/2
    0.492651943588495-1.57079632675     		φ = -1.07814438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07814438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.773123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 834 KachelY 1474 -0.58291270 -1.07814438 -33.398438 -61.773123
    Oben rechts KachelX + 1 835 KachelY 1474 -0.57984474 -1.07814438 -33.222656 -61.773123
    Unten links KachelX 834 KachelY + 1 1475 -0.58291270 -1.07959346 -33.398438 -61.856149
    Unten rechts KachelX + 1 835 KachelY + 1 1475 -0.57984474 -1.07959346 -33.222656 -61.856149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07814438--1.07959346) × R
    0.00144907999999999 × 6371000     		dl = 9232.08867999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07814438--1.07959346) × R
    0.00144907999999999 × 6371000     		dr = 9232.08867999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58291270--0.57984474) × cos(-1.07814438) × R
    0.00306795999999998 × 0.472964130311865 × 6371000     		do = 9244.54419671841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58291270--0.57984474) × cos(-1.07959346) × R
    0.00306795999999998 × 0.471686876341331 × 6371000     		du = 9219.57902489184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07814438)-sin(-1.07959346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472964130311865-0.471686876341331)×R²
    abs(-0.57984474--0.58291270)×0.00127725397053413×R²
    0.00306795999999998×0.00127725397053413×6371000²
    0.00306795999999998×0.00127725397053413×40589641000000     		ar = 85231226.4044598m²