Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 834 / 322
↖ ↑ ↗
← N 55.379110°
E113.203125°		 ← 22.210 km → N 55.379110°
E113.554688°		 →
↑
22.266 km
↓
↑
22.266 km
↓
N 55.178868°
E113.203125°		 ← 22.322 km →
495.775 km²		 N 55.178868°
E113.554688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81494140625 y=0.31494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81494140625 × 210)
    floor (0.81494140625 × 1024)
    floor (834.5)     		tx = 834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31494140625 × 210)
    floor (0.31494140625 × 1024)
    floor (322.5)     		ty = 322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 834 / 322 ti = "10/834/322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/834/322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 834 ÷ 210
    834 ÷ 1024     		x = 0.814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 322 ÷ 210
    322 ÷ 1024     		y = 0.314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814453125 × 2 - 1) × π
    0.62890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97576725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314453125 × 2 - 1) × π
    0.37109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16582539875977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97576725} λ = 1.97576725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16582539875977))-π/2
    2×atan(3.2085701403456)-π/2
    2×1.26867207045967-π/2
    2.53734414091934-1.57079632675     		φ = 0.96654781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97576725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96654781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.379110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 834 KachelY 322 1.97576725 0.96654781 113.203125 55.379110
    Oben rechts KachelX + 1 835 KachelY 322 1.98190318 0.96654781 113.554688 55.379110
    Unten links KachelX 834 KachelY + 1 323 1.97576725 0.96305292 113.203125 55.178868
    Unten rechts KachelX + 1 835 KachelY + 1 323 1.98190318 0.96305292 113.554688 55.178868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96654781-0.96305292) × R
    0.00349489000000003 × 6371000     		dl = 22265.9441900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96654781-0.96305292) × R
    0.00349489000000003 × 6371000     		dr = 22265.9441900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97576725-1.98190318) × cos(0.96654781) × R
    0.0061359299999999 × 0.568143819206898 × 6371000     		do = 22209.8838789182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97576725-1.98190318) × cos(0.96305292) × R
    0.0061359299999999 × 0.57101639094169 × 6371000     		du = 22322.1784819866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96654781)-sin(0.96305292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568143819206898-0.57101639094169)×R²
    abs(1.98190318-1.97576725)×0.00287257173479205×R²
    0.0061359299999999×0.00287257173479205×6371000²
    0.0061359299999999×0.00287257173479205×40589641000000     		ar = 495774712.223451m²