Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83456 / 116224
↖ ↑ ↗
← S 79.935918°
E 49.218750°		 ← 53.37 m → S 79.935918°
E 49.221497°		 →
↑
53.39 m
↓
↑
53.39 m
↓
S 79.936398°
E 49.218750°		 ← 53.37 m →
2 849 m²		 S 79.936398°
E 49.221497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636722564697266 y=0.886722564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636722564697266 × 217)
    floor (0.636722564697266 × 131072)
    floor (83456.5)     		tx = 83456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.886722564697266 × 217)
    floor (0.886722564697266 × 131072)
    floor (116224.5)     		ty = 116224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83456 / 116224 ti = "17/83456/116224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83456/116224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83456 ÷ 217
    83456 ÷ 131072     		x = 0.63671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116224 ÷ 217
    116224 ÷ 131072     		y = 0.88671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63671875 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88671875 × 2 - 1) × π
    -0.7734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.42982556794141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85902924} λ = 0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.42982556794141))-π/2
    2×atan(0.0880521903677181)-π/2
    2×0.0878256814024389-π/2
    0.175651362804878-1.57079632675     		φ = -1.39514496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39514496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.935918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83456 KachelY 116224 0.85902924 -1.39514496 49.218750 -79.935918
    Oben rechts KachelX + 1 83457 KachelY 116224 0.85907718 -1.39514496 49.221497 -79.935918
    Unten links KachelX 83456 KachelY + 1 116225 0.85902924 -1.39515334 49.218750 -79.936398
    Unten rechts KachelX + 1 83457 KachelY + 1 116225 0.85907718 -1.39515334 49.221497 -79.936398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39514496--1.39515334) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dl = 53.388979999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39514496--1.39515334) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dr = 53.388979999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85902924-0.85907718) × cos(-1.39514496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174749518782549 × 6371000     		do = 53.373001088769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85902924-0.85907718) × cos(-1.39515334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174741267720129 × 6371000     		du = 53.3704810019236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39514496)-sin(-1.39515334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174749518782549-0.174741267720129)×R²
    abs(0.85907718-0.85902924)×8.251062419945e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.251062419945e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.251062419945e-06×40589641000000     		ar = 2849.46281529329m²