Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83456 / 50688
↖ ↑ ↗
← N 37.718590°
E 49.218750°		 ← 241.60 m → N 37.718590°
E 49.221497°		 →
↑
241.59 m
↓
↑
241.59 m
↓
N 37.716418°
E 49.218750°		 ← 241.61 m →
58 368 m²		 N 37.716418°
E 49.221497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636722564697266 y=0.386722564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636722564697266 × 217)
    floor (0.636722564697266 × 131072)
    floor (83456.5)     		tx = 83456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.386722564697266 × 217)
    floor (0.386722564697266 × 131072)
    floor (50688.5)     		ty = 50688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83456 / 50688 ti = "17/83456/50688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83456/50688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83456 ÷ 217
    83456 ÷ 131072     		x = 0.63671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50688 ÷ 217
    50688 ÷ 131072     		y = 0.38671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63671875 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38671875 × 2 - 1) × π
    0.2265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.711767085558594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85902924} λ = 0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.711767085558594))-π/2
    2×atan(2.03758867275937)-π/2
    2×1.1145549585856-π/2
    2.2291099171712-1.57079632675     		φ = 0.65831359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.65831359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.718590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83456 KachelY 50688 0.85902924 0.65831359 49.218750 37.718590
    Oben rechts KachelX + 1 83457 KachelY 50688 0.85907718 0.65831359 49.221497 37.718590
    Unten links KachelX 83456 KachelY + 1 50689 0.85902924 0.65827567 49.218750 37.716418
    Unten rechts KachelX + 1 83457 KachelY + 1 50689 0.85907718 0.65827567 49.221497 37.716418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.65831359-0.65827567) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dl = 241.588320000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.65831359-0.65827567) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dr = 241.588320000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85902924-0.85907718) × cos(0.65831359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.791025074037336 × 6371000     		do = 241.59941859625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85902924-0.85907718) × cos(0.65827567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.791048272307653 × 6371000     		du = 241.606503945128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.65831359)-sin(0.65827567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791025074037336-0.791048272307653)×R²
    abs(0.85907718-0.85902924)×2.31982703166045e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31982703166045e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31982703166045e-05×40589641000000     		ar = 58368.4535275197m²