Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83464 / 17928
↖ ↑ ↗
← N 78.344972°
E 49.240723°		 ← 61.69 m → N 78.344972°
E 49.243469°		 →
↑
61.67 m
↓
↑
61.67 m
↓
N 78.344418°
E 49.240723°		 ← 61.69 m →
3 805 m²		 N 78.344418°
E 49.243469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636783599853516 y=0.136783599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636783599853516 × 217)
    floor (0.636783599853516 × 131072)
    floor (83464.5)     		tx = 83464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136783599853516 × 217)
    floor (0.136783599853516 × 131072)
    floor (17928.5)     		ty = 17928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83464 / 17928 ti = "17/83464/17928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83464/17928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83464 ÷ 217
    83464 ÷ 131072     		x = 0.63677978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17928 ÷ 217
    17928 ÷ 131072     		y = 0.13677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63677978515625 × 2 - 1) × π
    0.2735595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85941274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13677978515625 × 2 - 1) × π
    0.7264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28217991711163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85941274} λ = 0.85941274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28217991711163))-π/2
    2×atan(9.79801600891874)-π/2
    2×1.46908702584925-π/2
    2.9381740516985-1.57079632675     		φ = 1.36737772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85941274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.240723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36737772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.344972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83464 KachelY 17928 0.85941274 1.36737772 49.240723 78.344972
    Oben rechts KachelX + 1 83465 KachelY 17928 0.85946067 1.36737772 49.243469 78.344972
    Unten links KachelX 83464 KachelY + 1 17929 0.85941274 1.36736804 49.240723 78.344418
    Unten rechts KachelX + 1 83465 KachelY + 1 17929 0.85946067 1.36736804 49.243469 78.344418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36737772-1.36736804) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dl = 61.6712800000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36737772-1.36736804) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dr = 61.6712800000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85941274-0.85946067) × cos(1.36737772) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202018625621023 × 6371000     		do = 61.6888176174833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85941274-0.85946067) × cos(1.36736804) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202028106026219 × 6371000     		du = 61.6917125732593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36737772)-sin(1.36736804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202018625621023-0.202028106026219)×R²
    abs(0.85946067-0.85941274)×9.4804051963826e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.4804051963826e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.4804051963826e-06×40589641000000     		ar = 3804.51761204861m²