Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8352 / 8416
↖ ↑ ↗
← S  4.915833°
E  3.515625°		 ← 2 434.29 m → S  4.915833°
E  3.537598°		 →
↑
2 434.23 m
↓
↑
2 434.23 m
↓
S  4.937724°
E  3.515625°		 ← 2 434.21 m →
5 925 531 m²		 S  4.937724°
E  3.537598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509796142578125 y=0.513702392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509796142578125 × 214)
    floor (0.509796142578125 × 16384)
    floor (8352.5)     		tx = 8352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.513702392578125 × 214)
    floor (0.513702392578125 × 16384)
    floor (8416.5)     		ty = 8416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8352 / 8416 ti = "14/8352/8416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8352/8416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8352 ÷ 214
    8352 ÷ 16384     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8416 ÷ 214
    8416 ÷ 16384     		y = 0.513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.513671875 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0859029241191406))-π/2
    2×atan(0.917683311812137)-π/2
    2×0.742499429468446-π/2
    1.48499885893689-1.57079632675     		φ = -0.08579747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.08579747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.915833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8352 KachelY 8416 0.06135923 -0.08579747 3.515625 -4.915833
    Oben rechts KachelX + 1 8353 KachelY 8416 0.06174273 -0.08579747 3.537598 -4.915833
    Unten links KachelX 8352 KachelY + 1 8417 0.06135923 -0.08617955 3.515625 -4.937724
    Unten rechts KachelX + 1 8353 KachelY + 1 8417 0.06174273 -0.08617955 3.537598 -4.937724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.08579747--0.08617955) × R
    0.000382079999999993 × 6371000     		dl = 2434.23167999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.08579747--0.08617955) × R
    0.000382079999999993 × 6371000     		dr = 2434.23167999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06174273) × cos(-0.08579747) × R
    0.000383500000000002 × 0.996321654323187 × 6371000     		do = 2434.29127709229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06174273) × cos(-0.08617955) × R
    0.000383500000000002 × 0.996288840306334 × 6371000     		du = 2434.21110331041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.08579747)-sin(-0.08617955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996321654323187-0.996288840306334)×R²
    abs(0.06174273-0.06135923)×3.28140168532887e-05×R²
    0.000383500000000002×3.28140168532887e-05×6371000²
    0.000383500000000002×3.28140168532887e-05×40589641000000     		ar = 5925531.43635239m²