Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83520 / 17984
↖ ↑ ↗
← N 78.313860°
E 49.394531°		 ← 61.86 m → N 78.313860°
E 49.397278°		 →
↑
61.86 m
↓
↑
61.86 m
↓
N 78.313303°
E 49.394531°		 ← 61.87 m →
3 827 m²		 N 78.313303°
E 49.397278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637210845947266 y=0.137210845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637210845947266 × 217)
    floor (0.637210845947266 × 131072)
    floor (83520.5)     		tx = 83520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137210845947266 × 217)
    floor (0.137210845947266 × 131072)
    floor (17984.5)     		ty = 17984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83520 / 17984 ti = "17/83520/17984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83520/17984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83520 ÷ 217
    83520 ÷ 131072     		x = 0.63720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17984 ÷ 217
    17984 ÷ 131072     		y = 0.13720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63720703125 × 2 - 1) × π
    0.2744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86209720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13720703125 × 2 - 1) × π
    0.7255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27949545073291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86209720} λ = 0.86209720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27949545073291))-π/2
    2×atan(9.77174883680903)-π/2
    2×1.46881551300168-π/2
    2.93763102600337-1.57079632675     		φ = 1.36683470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86209720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36683470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.313860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83520 KachelY 17984 0.86209720 1.36683470 49.394531 78.313860
    Oben rechts KachelX + 1 83521 KachelY 17984 0.86214514 1.36683470 49.397278 78.313860
    Unten links KachelX 83520 KachelY + 1 17985 0.86209720 1.36682499 49.394531 78.313303
    Unten rechts KachelX + 1 83521 KachelY + 1 17985 0.86214514 1.36682499 49.397278 78.313303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36683470-1.36682499) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dl = 61.8624100003289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36683470-1.36682499) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dr = 61.8624100003289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86209720-0.86214514) × cos(1.36683470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202550419650011 × 6371000     		do = 61.8641118088747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86209720-0.86214514) × cos(1.36682499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202559928369984 × 6371000     		du = 61.8670160167087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36683470)-sin(1.36682499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202550419650011-0.202559928369984)×R²
    abs(0.86214514-0.86209720)×9.50871997246194e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.50871997246194e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.50871997246194e-06×40589641000000     		ar = 3827.15287981081m²