Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8354 / 8354
↖ ↑ ↗
← S  3.557283°
E  3.559570°		 ← 2 438.57 m → S  3.557283°
E  3.581543°		 →
↑
2 438.50 m
↓
↑
2 438.50 m
↓
S  3.579213°
E  3.559570°		 ← 2 438.51 m →
5 946 385 m²		 S  3.579213°
E  3.581543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509918212890625 y=0.509918212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509918212890625 × 214)
    floor (0.509918212890625 × 16384)
    floor (8354.5)     		tx = 8354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509918212890625 × 214)
    floor (0.509918212890625 × 16384)
    floor (8354.5)     		ty = 8354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8354 / 8354 ti = "14/8354/8354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8354/8354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8354 ÷ 214
    8354 ÷ 16384     		x = 0.5098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8354 ÷ 214
    8354 ÷ 16384     		y = 0.5098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5098876953125 × 2 - 1) × π
    0.019775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06212622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5098876953125 × 2 - 1) × π
    -0.019775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0621262219075928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06212622} λ = 0.06212622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0621262219075928))-π/2
    2×atan(0.939764260466982)-π/2
    2×0.754355015397101-π/2
    1.5087100307942-1.57079632675     		φ = -0.06208630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06212622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.559570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06208630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.557283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8354 KachelY 8354 0.06212622 -0.06208630 3.559570 -3.557283
    Oben rechts KachelX + 1 8355 KachelY 8354 0.06250972 -0.06208630 3.581543 -3.557283
    Unten links KachelX 8354 KachelY + 1 8355 0.06212622 -0.06246905 3.559570 -3.579213
    Unten rechts KachelX + 1 8355 KachelY + 1 8355 0.06250972 -0.06246905 3.581543 -3.579213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06208630--0.06246905) × R
    0.000382750000000001 × 6371000     		dl = 2438.50025000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06208630--0.06246905) × R
    0.000382750000000001 × 6371000     		dr = 2438.50025000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06212622-0.06250972) × cos(-0.06208630) × R
    0.000383500000000002 × 0.998073264712392 × 6371000     		do = 2438.57094909661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06212622-0.06250972) × cos(-0.06246905) × R
    0.000383500000000002 × 0.99804944333797 × 6371000     		du = 2438.51274684464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06208630)-sin(-0.06246905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998073264712392-0.99804944333797)×R²
    abs(0.06250972-0.06212622)×2.38213744218063e-05×R²
    0.000383500000000002×2.38213744218063e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.38213744218063e-05×40589641000000     		ar = 5946384.97850613m²