Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 836 / 1476
↖ ↑ ↗
← S 61.938950°
W 33.046875°		 ← 9 194.69 m → S 61.938950°
W 32.871093°		 →
↑
9 182.20 m
↓
↑
9 182.20 m
↓
S 62.021528°
W 33.046875°		 ← 9 169.82 m →
84 313 376 m²		 S 62.021528°
W 32.871093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408447265625 y=0.720947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408447265625 × 211)
    floor (0.408447265625 × 2048)
    floor (836.5)     		tx = 836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720947265625 × 211)
    floor (0.720947265625 × 2048)
    floor (1476.5)     		ty = 1476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 836 / 1476 ti = "11/836/1476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/836/1476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 836 ÷ 211
    836 ÷ 2048     		x = 0.408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1476 ÷ 211
    1476 ÷ 2048     		y = 0.720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408203125 × 2 - 1) × π
    -0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720703125 × 2 - 1) × π
    -0.44140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38671863220898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57677678} λ = -0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38671863220898))-π/2
    2×atan(0.249893954725289)-π/2
    2×0.244878853319384-π/2
    0.489757706638767-1.57079632675     		φ = -1.08103862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08103862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.938950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 836 KachelY 1476 -0.57677678 -1.08103862 -33.046875 -61.938950
    Oben rechts KachelX + 1 837 KachelY 1476 -0.57370881 -1.08103862 -32.871093 -61.938950
    Unten links KachelX 836 KachelY + 1 1477 -0.57677678 -1.08247987 -33.046875 -62.021528
    Unten rechts KachelX + 1 837 KachelY + 1 1477 -0.57370881 -1.08247987 -32.871093 -62.021528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08103862--1.08247987) × R
    0.00144125000000006 × 6371000     		dl = 9182.20375000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08103862--1.08247987) × R
    0.00144125000000006 × 6371000     		dr = 9182.20375000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57677678--0.57370881) × cos(-1.08103862) × R
    0.00306797000000003 × 0.470412091102688 × 6371000     		do = 9194.69207678703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57677678--0.57370881) × cos(-1.08247987) × R
    0.00306797000000003 × 0.469139776432619 × 6371000     		du = 9169.82336733562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08103862)-sin(-1.08247987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470412091102688-0.469139776432619)×R²
    abs(-0.57370881--0.57677678)×0.00127231467006911×R²
    0.00306797000000003×0.00127231467006911×6371000²
    0.00306797000000003×0.00127231467006911×40589641000000     		ar = 84313375.8836408m²