Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8360 / 8360
↖ ↑ ↗
← S  3.688855°
E  3.691406°		 ← 2 438.22 m → S  3.688855°
E  3.713379°		 →
↑
2 438.12 m
↓
↑
2 438.12 m
↓
S  3.710782°
E  3.691406°		 ← 2 438.16 m →
5 944 586 m²		 S  3.710782°
E  3.713379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510284423828125 y=0.510284423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510284423828125 × 214)
    floor (0.510284423828125 × 16384)
    floor (8360.5)     		tx = 8360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510284423828125 × 214)
    floor (0.510284423828125 × 16384)
    floor (8360.5)     		ty = 8360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8360 / 8360 ti = "14/8360/8360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8360/8360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8360 ÷ 214
    8360 ÷ 16384     		x = 0.51025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8360 ÷ 214
    8360 ÷ 16384     		y = 0.51025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51025390625 × 2 - 1) × π
    0.0205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06442719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0644271930893555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06442719} λ = 0.06442719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0644271930893555))-π/2
    2×atan(0.937604375855075)-π/2
    2×0.753206829459846-π/2
    1.50641365891969-1.57079632675     		φ = -0.06438267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06442719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06438267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.688855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8360 KachelY 8360 0.06442719 -0.06438267 3.691406 -3.688855
    Oben rechts KachelX + 1 8361 KachelY 8360 0.06481069 -0.06438267 3.713379 -3.688855
    Unten links KachelX 8360 KachelY + 1 8361 0.06442719 -0.06476536 3.691406 -3.710782
    Unten rechts KachelX + 1 8361 KachelY + 1 8361 0.06481069 -0.06476536 3.713379 -3.710782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06438267--0.06476536) × R
    0.000382689999999991 × 6371000     		dl = 2438.11798999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06438267--0.06476536) × R
    0.000382689999999991 × 6371000     		dr = 2438.11798999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06442719-0.06481069) × cos(-0.06438267) × R
    0.000383500000000009 × 0.997928151723247 × 6371000     		do = 2438.2163976502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06442719-0.06481069) × cos(-0.06476536) × R
    0.000383500000000009 × 0.997903457063929 × 6371000     		du = 2438.15606172003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06438267)-sin(-0.06476536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997928151723247-0.997903457063929)×R²
    abs(0.06481069-0.06442719)×2.46946593178698e-05×R²
    0.000383500000000009×2.46946593178698e-05×6371000²
    0.000383500000000009×2.46946593178698e-05×40589641000000     		ar = 5944585.78211497m²