Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83840 / 18816
↖ ↑ ↗
← N 77.841848°
E 50.273437°		 ← 64.33 m → N 77.841848°
E 50.276184°		 →
↑
64.35 m
↓
↑
64.35 m
↓
N 77.841269°
E 50.273437°		 ← 64.33 m →
4 139 m²		 N 77.841269°
E 50.276184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639652252197266 y=0.143558502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639652252197266 × 217)
    floor (0.639652252197266 × 131072)
    floor (83840.5)     		tx = 83840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143558502197266 × 217)
    floor (0.143558502197266 × 131072)
    floor (18816.5)     		ty = 18816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83840 / 18816 ti = "17/83840/18816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83840/18816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83840 ÷ 217
    83840 ÷ 131072     		x = 0.6396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18816 ÷ 217
    18816 ÷ 131072     		y = 0.1435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1435546875 × 2 - 1) × π
    0.712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23961195024902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87743701} λ = 0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23961195024902))-π/2
    2×atan(9.38968691472055)-π/2
    2×1.46469643293211-π/2
    2.92939286586422-1.57079632675     		φ = 1.35859654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35859654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.841848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83840 KachelY 18816 0.87743701 1.35859654 50.273437 77.841848
    Oben rechts KachelX + 1 83841 KachelY 18816 0.87748495 1.35859654 50.276184 77.841848
    Unten links KachelX 83840 KachelY + 1 18817 0.87743701 1.35858644 50.273437 77.841269
    Unten rechts KachelX + 1 83841 KachelY + 1 18817 0.87748495 1.35858644 50.276184 77.841269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35859654-1.35858644) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dl = 64.3470999993747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35859654-1.35858644) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dr = 64.3470999993747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87743701-0.87748495) × cos(1.35859654) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210610853227156 × 6371000     		do = 64.3259756990423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87743701-0.87748495) × cos(1.35858644) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210620726673225 × 6371000     		du = 64.3289913036144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35859654)-sin(1.35858644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210610853227156-0.210620726673225)×R²
    abs(0.87748495-0.87743701)×9.87344606950824e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.87344606950824e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.87344606950824e-06×40589641000000     		ar = 4139.2870135245m²