Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83936 / 18528
↖ ↑ ↗
← N 78.007325°
E 50.537109°		 ← 63.46 m → N 78.007325°
E 50.539856°		 →
↑
63.46 m
↓
↑
63.46 m
↓
N 78.006754°
E 50.537109°		 ← 63.47 m →
4 027 m²		 N 78.006754°
E 50.539856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640384674072266 y=0.141361236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640384674072266 × 217)
    floor (0.640384674072266 × 131072)
    floor (83936.5)     		tx = 83936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141361236572266 × 217)
    floor (0.141361236572266 × 131072)
    floor (18528.5)     		ty = 18528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83936 / 18528 ti = "17/83936/18528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83936/18528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83936 ÷ 217
    83936 ÷ 131072     		x = 0.640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18528 ÷ 217
    18528 ÷ 131072     		y = 0.141357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640380859375 × 2 - 1) × π
    0.28076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88203895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141357421875 × 2 - 1) × π
    0.71728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2534177773396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88203895} λ = 0.88203895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2534177773396))-π/2
    2×atan(9.52021828216826)-π/2
    2×1.46614049286932-π/2
    2.93228098573864-1.57079632675     		φ = 1.36148466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88203895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36148466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.007325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83936 KachelY 18528 0.88203895 1.36148466 50.537109 78.007325
    Oben rechts KachelX + 1 83937 KachelY 18528 0.88208689 1.36148466 50.539856 78.007325
    Unten links KachelX 83936 KachelY + 1 18529 0.88203895 1.36147470 50.537109 78.006754
    Unten rechts KachelX + 1 83937 KachelY + 1 18529 0.88208689 1.36147470 50.539856 78.006754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36148466-1.36147470) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dl = 63.4551599991369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36148466-1.36147470) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dr = 63.4551599991369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88203895-0.88208689) × cos(1.36148466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207786639360619 × 6371000     		do = 63.4633880887887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88203895-0.88208689) × cos(1.36147470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207796381965075 × 6371000     		du = 63.466363730964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36148466)-sin(1.36147470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207786639360619-0.207796381965075)×R²
    abs(0.88208689-0.88203895)×9.7426044552984e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7426044552984e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7426044552984e-06×40589641000000     		ar = 4027.17385518958m²