Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83952 / 18416
↖ ↑ ↗
← N 78.071076°
E 50.581054°		 ← 63.13 m → N 78.071076°
E 50.583801°		 →
↑
63.14 m
↓
↑
63.14 m
↓
N 78.070508°
E 50.581054°		 ← 63.13 m →
3 986 m²		 N 78.070508°
E 50.583801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640506744384766 y=0.140506744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640506744384766 × 217)
    floor (0.640506744384766 × 131072)
    floor (83952.5)     		tx = 83952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140506744384766 × 217)
    floor (0.140506744384766 × 131072)
    floor (18416.5)     		ty = 18416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83952 / 18416 ti = "17/83952/18416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83952/18416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83952 ÷ 217
    83952 ÷ 131072     		x = 0.6405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18416 ÷ 217
    18416 ÷ 131072     		y = 0.1405029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6405029296875 × 2 - 1) × π
    0.281005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88280594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1405029296875 × 2 - 1) × π
    0.718994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25878671009705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88280594} λ = 0.88280594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25878671009705))-π/2
    2×atan(9.57146915208793)-π/2
    2×1.46669682686158-π/2
    2.93339365372316-1.57079632675     		φ = 1.36259733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88280594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.581054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36259733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.071076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83952 KachelY 18416 0.88280594 1.36259733 50.581054 78.071076
    Oben rechts KachelX + 1 83953 KachelY 18416 0.88285388 1.36259733 50.583801 78.071076
    Unten links KachelX 83952 KachelY + 1 18417 0.88280594 1.36258742 50.581054 78.070508
    Unten rechts KachelX + 1 83953 KachelY + 1 18417 0.88285388 1.36258742 50.583801 78.070508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36259733-1.36258742) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dl = 63.1366099996582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36259733-1.36258742) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dr = 63.1366099996582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88280594-0.88285388) × cos(1.36259733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206698125904746 × 6371000     		do = 63.1309280610287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88280594-0.88285388) × cos(1.36258742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20670782188582 × 6371000     		du = 63.1338894632233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36259733)-sin(1.36258742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206698125904746-0.20670782188582)×R²
    abs(0.88285388-0.88280594)×9.69598107411485e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.69598107411485e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.69598107411485e-06×40589641000000     		ar = 3985.96627022255m²