Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83967 / 14337
↖ ↑ ↗
← N 80.178245°
E 50.622254°		 ← 52.09 m → N 80.178245°
E 50.625000°		 →
↑
52.05 m
↓
↑
52.05 m
↓
N 80.177777°
E 50.622254°		 ← 52.09 m →
2 711 m²		 N 80.177777°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640621185302734 y=0.109386444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640621185302734 × 217)
    floor (0.640621185302734 × 131072)
    floor (83967.5)     		tx = 83967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109386444091797 × 217)
    floor (0.109386444091797 × 131072)
    floor (14337.5)     		ty = 14337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83967 / 14337 ti = "17/83967/14337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83967/14337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83967 ÷ 217
    83967 ÷ 131072     		x = 0.640617370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14337 ÷ 217
    14337 ÷ 131072     		y = 0.109382629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640617370605469 × 2 - 1) × π
    0.281234741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.88352500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109382629394531 × 2 - 1) × π
    0.781234741210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.45432132364725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88352500} λ = 0.88352500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45432132364725))-π/2
    2×atan(11.6385320714123)-π/2
    2×1.48508534512374-π/2
    2.97017069024748-1.57079632675     		φ = 1.39937436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88352500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.622254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39937436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.178245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83967 KachelY 14337 0.88352500 1.39937436 50.622254 80.178245
    Oben rechts KachelX + 1 83968 KachelY 14337 0.88357293 1.39937436 50.625000 80.178245
    Unten links KachelX 83967 KachelY + 1 14338 0.88352500 1.39936619 50.622254 80.177777
    Unten rechts KachelX + 1 83968 KachelY + 1 14338 0.88357293 1.39936619 50.625000 80.177777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39937436-1.39936619) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000     		dl = 52.0510699991272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39937436-1.39936619) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000     		dr = 52.0510699991272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88352500-0.88357293) × cos(1.39937436) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.170583646364361 × 6371000     		do = 52.0897685386554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88352500-0.88357293) × cos(1.39936619) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.170591696612603 × 6371000     		du = 52.0922267788005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39937436)-sin(1.39936619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170583646364361-0.170591696612603)×R²
    abs(0.88357293-0.88352500)×8.05024824154787e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.05024824154787e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.05024824154787e-06×40589641000000     		ar = 2711.39216548975m²