Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83967 / 18435
↖ ↑ ↗
← N 78.060285°
E 50.622254°		 ← 63.17 m → N 78.060285°
E 50.625000°		 →
↑
63.20 m
↓
↑
63.20 m
↓
N 78.059716°
E 50.622254°		 ← 63.18 m →
3 993 m²		 N 78.059716°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640621185302734 y=0.140651702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640621185302734 × 217)
    floor (0.640621185302734 × 131072)
    floor (83967.5)     		tx = 83967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140651702880859 × 217)
    floor (0.140651702880859 × 131072)
    floor (18435.5)     		ty = 18435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83967 / 18435 ti = "17/83967/18435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83967/18435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83967 ÷ 217
    83967 ÷ 131072     		x = 0.640617370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18435 ÷ 217
    18435 ÷ 131072     		y = 0.140647888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640617370605469 × 2 - 1) × π
    0.281234741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.88352500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140647888183594 × 2 - 1) × π
    0.718704223632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.25787590900427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88352500} λ = 0.88352500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25787590900427))-π/2
    2×atan(9.56275541636708)-π/2
    2×1.4666026544675-π/2
    2.933205308935-1.57079632675     		φ = 1.36240898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88352500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.622254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36240898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.060285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83967 KachelY 18435 0.88352500 1.36240898 50.622254 78.060285
    Oben rechts KachelX + 1 83968 KachelY 18435 0.88357293 1.36240898 50.625000 78.060285
    Unten links KachelX 83967 KachelY + 1 18436 0.88352500 1.36239906 50.622254 78.059716
    Unten rechts KachelX + 1 83968 KachelY + 1 18436 0.88357293 1.36239906 50.625000 78.059716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36240898-1.36239906) × R
    9.92000000010762e-06 × 6371000     		dl = 63.2003200006857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36240898-1.36239906) × R
    9.92000000010762e-06 × 6371000     		dr = 63.2003200006857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88352500-0.88357293) × cos(1.36240898) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206882404774816 × 6371000     		do = 63.1740310933583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88352500-0.88357293) × cos(1.36239906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206892110153535 × 6371000     		du = 63.1769947475057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36240898)-sin(1.36239906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206882404774816-0.206892110153535)×R²
    abs(0.88357293-0.88352500)×9.70537871880506e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.70537871880506e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.70537871880506e-06×40589641000000     		ar = 3992.71263287204m²