Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83970 / 116738
↖ ↑ ↗
← S 80.179650°
E 50.630493°		 ← 52.08 m → S 80.179650°
E 50.633239°		 →
↑
52.11 m
↓
↑
52.11 m
↓
S 80.180119°
E 50.630493°		 ← 52.08 m →
2 714 m²		 S 80.180119°
E 50.633239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640644073486328 y=0.890644073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640644073486328 × 217)
    floor (0.640644073486328 × 131072)
    floor (83970.5)     		tx = 83970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.890644073486328 × 217)
    floor (0.890644073486328 × 131072)
    floor (116738.5)     		ty = 116738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83970 / 116738 ti = "17/83970/116738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83970/116738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83970 ÷ 217
    83970 ÷ 131072     		x = 0.640640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116738 ÷ 217
    116738 ÷ 131072     		y = 0.890640258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640640258789062 × 2 - 1) × π
    0.281280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88366881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.890640258789062 × 2 - 1) × π
    -0.781280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.45446513434612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88366881} λ = 0.88366881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45446513434612))-π/2
    2×atan(0.085909132999457)-π/2
    2×0.0856987166637186-π/2
    0.171397433327437-1.57079632675     		φ = -1.39939889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88366881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.630493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39939889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.179650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83970 KachelY 116738 0.88366881 -1.39939889 50.630493 -80.179650
    Oben rechts KachelX + 1 83971 KachelY 116738 0.88371674 -1.39939889 50.633239 -80.179650
    Unten links KachelX 83970 KachelY + 1 116739 0.88366881 -1.39940707 50.630493 -80.180119
    Unten rechts KachelX + 1 83971 KachelY + 1 116739 0.88371674 -1.39940707 50.633239 -80.180119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39939889--1.39940707) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dl = 52.1147800001547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39939889--1.39940707) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dr = 52.1147800001547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88366881-0.88371674) × cos(-1.39939889) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.170559475844373 × 6371000     		do = 52.0823877796056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88366881-0.88371674) × cos(-1.39940707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.170551415697074 × 6371000     		du = 52.0799265166643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39939889)-sin(-1.39940707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170559475844373-0.170551415697074)×R²
    abs(0.88371674-0.88366881)×8.06014729920479e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.06014729920479e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.06014729920479e-06×40589641000000     		ar = 2714.19804704327m²