Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83972 / 18437
↖ ↑ ↗
← N 78.059148°
E 50.635986°		 ← 63.19 m → N 78.059148°
E 50.638733°		 →
↑
63.20 m
↓
↑
63.20 m
↓
N 78.058580°
E 50.635986°		 ← 63.20 m →
3 994 m²		 N 78.058580°
E 50.638733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640659332275391 y=0.140666961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640659332275391 × 217)
    floor (0.640659332275391 × 131072)
    floor (83972.5)     		tx = 83972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140666961669922 × 217)
    floor (0.140666961669922 × 131072)
    floor (18437.5)     		ty = 18437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83972 / 18437 ti = "17/83972/18437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83972/18437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83972 ÷ 217
    83972 ÷ 131072     		x = 0.640655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18437 ÷ 217
    18437 ÷ 131072     		y = 0.140663146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640655517578125 × 2 - 1) × π
    0.28131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88376468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140663146972656 × 2 - 1) × π
    0.718673706054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.25778003520502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88376468} λ = 0.88376468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25778003520502))-π/2
    2×atan(9.5618386426221)-π/2
    2×1.4665927367014-π/2
    2.93318547340279-1.57079632675     		φ = 1.36238915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88376468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.635986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36238915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.059148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83972 KachelY 18437 0.88376468 1.36238915 50.635986 78.059148
    Oben rechts KachelX + 1 83973 KachelY 18437 0.88381262 1.36238915 50.638733 78.059148
    Unten links KachelX 83972 KachelY + 1 18438 0.88376468 1.36237923 50.635986 78.058580
    Unten rechts KachelX + 1 83973 KachelY + 1 18438 0.88381262 1.36237923 50.638733 78.058580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36238915-1.36237923) × R
    9.92000000010762e-06 × 6371000     		dl = 63.2003200006857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36238915-1.36237923) × R
    9.92000000010762e-06 × 6371000     		dr = 63.2003200006857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88376468-0.88381262) × cos(1.36238915) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.206901805728277 × 6371000     		do = 63.1931371220002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88376468-0.88381262) × cos(1.36237923) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.206911511066296 × 6371000     		du = 63.1961013820467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36238915)-sin(1.36237923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206901805728277-0.206911511066296)×R²
    abs(0.88381262-0.88376468)×9.705338019389e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.705338019389e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.705338019389e-06×40589641000000     		ar = 3993.92015917357m²