Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83974 / 18438
↖ ↑ ↗
← N 78.058580°
E 50.641480°		 ← 63.18 m → N 78.058580°
E 50.644226°		 →
↑
63.20 m
↓
↑
63.20 m
↓
N 78.058012°
E 50.641480°		 ← 63.19 m →
3 993 m²		 N 78.058012°
E 50.644226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640674591064453 y=0.140674591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640674591064453 × 217)
    floor (0.640674591064453 × 131072)
    floor (83974.5)     		tx = 83974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140674591064453 × 217)
    floor (0.140674591064453 × 131072)
    floor (18438.5)     		ty = 18438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83974 / 18438 ti = "17/83974/18438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83974/18438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83974 ÷ 217
    83974 ÷ 131072     		x = 0.640670776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18438 ÷ 217
    18438 ÷ 131072     		y = 0.140670776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640670776367188 × 2 - 1) × π
    0.281341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88386056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140670776367188 × 2 - 1) × π
    0.718658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2577320983054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88386056} λ = 0.88386056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2577320983054))-π/2
    2×atan(9.56138028870902)-π/2
    2×1.46658777746948-π/2
    2.93317555493896-1.57079632675     		φ = 1.36237923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88386056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.641480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36237923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.058580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83974 KachelY 18438 0.88386056 1.36237923 50.641480 78.058580
    Oben rechts KachelX + 1 83975 KachelY 18438 0.88390849 1.36237923 50.644226 78.058580
    Unten links KachelX 83974 KachelY + 1 18439 0.88386056 1.36236931 50.641480 78.058012
    Unten rechts KachelX + 1 83975 KachelY + 1 18439 0.88390849 1.36236931 50.644226 78.058012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36237923-1.36236931) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dl = 63.200319999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36237923-1.36236931) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dr = 63.200319999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88386056-0.88390849) × cos(1.36237923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206911511066296 × 6371000     		do = 63.1829190496104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88386056-0.88390849) × cos(1.36236931) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206921216383954 × 6371000     		du = 63.1858826851122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36237923)-sin(1.36236931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206911511066296-0.206921216383954)×R²
    abs(0.88390849-0.88386056)×9.70531765773219e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.70531765773219e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.70531765773219e-06×40589641000000     		ar = 3993.27435382215m²