Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83976 / 14344
↖ ↑ ↗
← N 80.174965°
E 50.646973°		 ← 52.12 m → N 80.174965°
E 50.649719°		 →
↑
52.11 m
↓
↑
52.11 m
↓
N 80.174496°
E 50.646973°		 ← 52.12 m →
2 716 m²		 N 80.174496°
E 50.649719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640689849853516 y=0.109439849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640689849853516 × 217)
    floor (0.640689849853516 × 131072)
    floor (83976.5)     		tx = 83976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109439849853516 × 217)
    floor (0.109439849853516 × 131072)
    floor (14344.5)     		ty = 14344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83976 / 14344 ti = "17/83976/14344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83976/14344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83976 ÷ 217
    83976 ÷ 131072     		x = 0.64068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14344 ÷ 217
    14344 ÷ 131072     		y = 0.10943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64068603515625 × 2 - 1) × π
    0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10943603515625 × 2 - 1) × π
    0.7811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45398576534991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88395643} λ = 0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45398576534991))-π/2
    2×atan(11.6346273205793)-π/2
    2×1.48505672001332-π/2
    2.97011344002664-1.57079632675     		φ = 1.39931711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39931711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.174965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83976 KachelY 14344 0.88395643 1.39931711 50.646973 80.174965
    Oben rechts KachelX + 1 83977 KachelY 14344 0.88400437 1.39931711 50.649719 80.174965
    Unten links KachelX 83976 KachelY + 1 14345 0.88395643 1.39930893 50.646973 80.174496
    Unten rechts KachelX + 1 83977 KachelY + 1 14345 0.88400437 1.39930893 50.649719 80.174496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39931711-1.39930893) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dl = 52.1147800001547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39931711-1.39930893) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dr = 52.1147800001547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88395643-0.88400437) × cos(1.39931711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170640056982918 × 6371000     		do = 52.1178656776156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88395643-0.88400437) × cos(1.39930893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170648117004677 × 6371000     		du = 52.1203274157259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39931711)-sin(1.39930893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170640056982918-0.170648117004677)×R²
    abs(0.88400437-0.88395643)×8.06002175948728e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.06002175948728e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.06002175948728e-06×40589641000000     		ar = 2716.17525046952m²