Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83976 / 18440
↖ ↑ ↗
← N 78.057443°
E 50.646973°		 ← 63.20 m → N 78.057443°
E 50.649719°		 →
↑
63.20 m
↓
↑
63.20 m
↓
N 78.056875°
E 50.646973°		 ← 63.20 m →
3 994 m²		 N 78.056875°
E 50.649719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640689849853516 y=0.140689849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640689849853516 × 217)
    floor (0.640689849853516 × 131072)
    floor (83976.5)     		tx = 83976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140689849853516 × 217)
    floor (0.140689849853516 × 131072)
    floor (18440.5)     		ty = 18440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83976 / 18440 ti = "17/83976/18440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83976/18440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83976 ÷ 217
    83976 ÷ 131072     		x = 0.64068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18440 ÷ 217
    18440 ÷ 131072     		y = 0.14068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64068603515625 × 2 - 1) × π
    0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14068603515625 × 2 - 1) × π
    0.7186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25763622450616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88395643} λ = 0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25763622450616))-π/2
    2×atan(9.56046364679644)-π/2
    2×1.46657785830786-π/2
    2.93315571661572-1.57079632675     		φ = 1.36235939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36235939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.057443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83976 KachelY 18440 0.88395643 1.36235939 50.646973 78.057443
    Oben rechts KachelX + 1 83977 KachelY 18440 0.88400437 1.36235939 50.649719 78.057443
    Unten links KachelX 83976 KachelY + 1 18441 0.88395643 1.36234947 50.646973 78.056875
    Unten rechts KachelX + 1 83977 KachelY + 1 18441 0.88400437 1.36234947 50.649719 78.056875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36235939-1.36234947) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dl = 63.200319999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36235939-1.36234947) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dr = 63.200319999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88395643-0.88400437) × cos(1.36235939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20693092168125 × 6371000     		do = 63.2020298833363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88395643-0.88400437) × cos(1.36234947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206940626958182 × 6371000     		du = 63.2049941247252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36235939)-sin(1.36234947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20693092168125-0.206940626958182)×R²
    abs(0.88400437-0.88395643)×9.7052769320316e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7052769320316e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7052769320316e-06×40589641000000     		ar = 3994.48218374847m²