Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83980 / 18444
↖ ↑ ↗
← N 78.055170°
E 50.657959°		 ← 63.20 m → N 78.055170°
E 50.660705°		 →
↑
63.20 m
↓
↑
63.20 m
↓
N 78.054601°
E 50.657959°		 ← 63.20 m →
3 994 m²		 N 78.054601°
E 50.660705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640720367431641 y=0.140720367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640720367431641 × 217)
    floor (0.640720367431641 × 131072)
    floor (83980.5)     		tx = 83980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140720367431641 × 217)
    floor (0.140720367431641 × 131072)
    floor (18444.5)     		ty = 18444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83980 / 18444 ti = "17/83980/18444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83980/18444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83980 ÷ 217
    83980 ÷ 131072     		x = 0.640716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18444 ÷ 217
    18444 ÷ 131072     		y = 0.140716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640716552734375 × 2 - 1) × π
    0.28143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88414818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140716552734375 × 2 - 1) × π
    0.71856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25744447690768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88414818} λ = 0.88414818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25744447690768))-π/2
    2×atan(9.55863062659604)-π/2
    2×1.46655801719319-π/2
    2.93311603438639-1.57079632675     		φ = 1.36231971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88414818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36231971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.055170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83980 KachelY 18444 0.88414818 1.36231971 50.657959 78.055170
    Oben rechts KachelX + 1 83981 KachelY 18444 0.88419611 1.36231971 50.660705 78.055170
    Unten links KachelX 83980 KachelY + 1 18445 0.88414818 1.36230979 50.657959 78.054601
    Unten rechts KachelX + 1 83981 KachelY + 1 18445 0.88419611 1.36230979 50.660705 78.054601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36231971-1.36230979) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dl = 63.200319999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36231971-1.36230979) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dr = 63.200319999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88414818-0.88419611) × cos(1.36231971) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206969742666789 × 6371000     		do = 63.200700769347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88414818-0.88419611) × cos(1.36230979) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206979447862258 × 6371000     		du = 63.203664367537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36231971)-sin(1.36230979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206969742666789-0.206979447862258)×R²
    abs(0.88419611-0.88414818)×9.70519546919513e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.70519546919513e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.70519546919513e-06×40589641000000     		ar = 3994.39816312072m²