Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83984 / 14352
↖ ↑ ↗
← N 80.171215°
E 50.668945°		 ← 52.14 m → N 80.171215°
E 50.671692°		 →
↑
52.11 m
↓
↑
52.11 m
↓
N 80.170746°
E 50.668945°		 ← 52.14 m →
2 717 m²		 N 80.170746°
E 50.671692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640750885009766 y=0.109500885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640750885009766 × 217)
    floor (0.640750885009766 × 131072)
    floor (83984.5)     		tx = 83984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109500885009766 × 217)
    floor (0.109500885009766 × 131072)
    floor (14352.5)     		ty = 14352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83984 / 14352 ti = "17/83984/14352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83984/14352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83984 ÷ 217
    83984 ÷ 131072     		x = 0.6407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14352 ÷ 217
    14352 ÷ 131072     		y = 0.1094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6407470703125 × 2 - 1) × π
    0.281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88433992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1094970703125 × 2 - 1) × π
    0.781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45360227015295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88433992} λ = 0.88433992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45360227015295))-π/2
    2×atan(11.630166352318)-π/2
    2×1.48502399401011-π/2
    2.97004798802022-1.57079632675     		φ = 1.39925166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88433992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39925166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.171215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83984 KachelY 14352 0.88433992 1.39925166 50.668945 80.171215
    Oben rechts KachelX + 1 83985 KachelY 14352 0.88438786 1.39925166 50.671692 80.171215
    Unten links KachelX 83984 KachelY + 1 14353 0.88433992 1.39924348 50.668945 80.170746
    Unten rechts KachelX + 1 83985 KachelY + 1 14353 0.88438786 1.39924348 50.671692 80.170746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39925166-1.39924348) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dl = 52.1147800001547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39925166-1.39924348) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dr = 52.1147800001547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88433992-0.88438786) × cos(1.39925166) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.170704546690468 × 6371000     		do = 52.1375624943874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88433992-0.88438786) × cos(1.39924348) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.170712606620851 × 6371000     		du = 52.1400242045889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39925166)-sin(1.39924348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170704546690468-0.170712606620851)×R²
    abs(0.88438786-0.88433992)×8.05993038263675e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.05993038263675e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.05993038263675e-06×40589641000000     		ar = 2717.20174508066m²