Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83985 / 18447
↖ ↑ ↗
← N 78.053464°
E 50.671692°		 ← 63.22 m → N 78.053464°
E 50.674439°		 →
↑
63.20 m
↓
↑
63.20 m
↓
N 78.052896°
E 50.671692°		 ← 63.23 m →
3 996 m²		 N 78.052896°
E 50.674439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640758514404297 y=0.140743255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640758514404297 × 217)
    floor (0.640758514404297 × 131072)
    floor (83985.5)     		tx = 83985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140743255615234 × 217)
    floor (0.140743255615234 × 131072)
    floor (18447.5)     		ty = 18447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83985 / 18447 ti = "17/83985/18447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83985/18447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83985 ÷ 217
    83985 ÷ 131072     		x = 0.640754699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18447 ÷ 217
    18447 ÷ 131072     		y = 0.140739440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640754699707031 × 2 - 1) × π
    0.281509399414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.88438786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140739440917969 × 2 - 1) × π
    0.718521118164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.25730066620882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88438786} λ = 0.88438786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25730066620882))-π/2
    2×atan(9.55725609208424)-π/2
    2×1.46654313391437-π/2
    2.93308626782874-1.57079632675     		φ = 1.36228994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88438786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.671692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36228994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.053464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83985 KachelY 18447 0.88438786 1.36228994 50.671692 78.053464
    Oben rechts KachelX + 1 83986 KachelY 18447 0.88443580 1.36228994 50.674439 78.053464
    Unten links KachelX 83985 KachelY + 1 18448 0.88438786 1.36228002 50.671692 78.052896
    Unten rechts KachelX + 1 83986 KachelY + 1 18448 0.88443580 1.36228002 50.674439 78.052896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36228994-1.36228002) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dl = 63.200319999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36228994-1.36228002) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dr = 63.200319999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88438786-0.88443580) × cos(1.36228994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206998867975503 × 6371000     		do = 63.222782430539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88438786-0.88443580) × cos(1.36228002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207008573109845 × 6371000     		du = 63.225746628377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36228994)-sin(1.36228002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206998867975503-0.207008573109845)×R²
    abs(0.88443580-0.88438786)×9.70513434148113e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.70513434148113e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.70513434148113e-06×40589641000000     		ar = 3995.79374993699m²