Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83985 / 18449
↖ ↑ ↗
← N 78.052327°
E 50.671692°		 ← 63.23 m → N 78.052327°
E 50.674439°		 →
↑
63.20 m
↓
↑
63.20 m
↓
N 78.051758°
E 50.671692°		 ← 63.23 m →
3 996 m²		 N 78.051758°
E 50.674439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640758514404297 y=0.140758514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640758514404297 × 217)
    floor (0.640758514404297 × 131072)
    floor (83985.5)     		tx = 83985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140758514404297 × 217)
    floor (0.140758514404297 × 131072)
    floor (18449.5)     		ty = 18449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83985 / 18449 ti = "17/83985/18449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83985/18449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83985 ÷ 217
    83985 ÷ 131072     		x = 0.640754699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18449 ÷ 217
    18449 ÷ 131072     		y = 0.140754699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640754699707031 × 2 - 1) × π
    0.281509399414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.88438786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140754699707031 × 2 - 1) × π
    0.718490600585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.25720479240958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88438786} λ = 0.88438786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25720479240958))-π/2
    2×atan(9.55633984555509)-π/2
    2×1.46653321056508-π/2
    2.93306642113016-1.57079632675     		φ = 1.36227009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88438786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.671692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36227009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.052327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83985 KachelY 18449 0.88438786 1.36227009 50.671692 78.052327
    Oben rechts KachelX + 1 83986 KachelY 18449 0.88443580 1.36227009 50.674439 78.052327
    Unten links KachelX 83985 KachelY + 1 18450 0.88438786 1.36226017 50.671692 78.051758
    Unten rechts KachelX + 1 83986 KachelY + 1 18450 0.88443580 1.36226017 50.674439 78.051758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36227009-1.36226017) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dl = 63.200319999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36227009-1.36226017) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dr = 63.200319999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88438786-0.88443580) × cos(1.36227009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207018288007186 × 6371000     		do = 63.2287138080865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88438786-0.88443580) × cos(1.36226017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207027993100764 × 6371000     		du = 63.2316779934744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36227009)-sin(1.36226017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207018288007186-0.207027993100764)×R²
    abs(0.88443580-0.88438786)×9.70509357806071e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.70509357806071e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.70509357806071e-06×40589641000000     		ar = 3996.16861460625m²