Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 84 / 20
↖ ↑ ↗
← N 76.840817°
E 56.250000°		 ← 71.197 km → N 76.840817°
E 59.062500°		 →
↑
72.924 km
↓
↑
72.924 km
↓
N 76.184995°
E 56.250000°		 ← 74.677 km →
5 318.92 km²		 N 76.184995°
E 59.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66015625 y=0.16015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66015625 × 27)
    floor (0.66015625 × 128)
    floor (84.5)     		tx = 84
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16015625 × 27)
    floor (0.16015625 × 128)
    floor (20.5)     		ty = 20
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 84 / 20 ti = "7/84/20"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/84/20.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84 ÷ 27
    84 ÷ 128     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20 ÷ 27
    20 ÷ 128     		y = 0.15625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15625 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15984494928125))-π/2
    2×atan(8.66979329656196)-π/2
    2×1.45596078656658-π/2
    2.91192157313317-1.57079632675     		φ = 1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84 KachelY 20 0.98174770 1.34112525 56.250000 76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 85 KachelY 20 1.03083509 1.34112525 59.062500 76.840817
    Unten links KachelX 84 KachelY + 1 21 0.98174770 1.32967901 56.250000 76.184995
    Unten rechts KachelX + 1 85 KachelY + 1 21 1.03083509 1.32967901 59.062500 76.184995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34112525-1.32967901) × R
    0.0114462399999999 × 6371000     		dl = 72923.9950399996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34112525-1.32967901) × R
    0.0114462399999999 × 6371000     		dr = 72923.9950399996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-1.03083509) × cos(1.34112525) × R
    0.0490873900000001 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 71196.5634007884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-1.03083509) × cos(1.32967901) × R
    0.0490873900000001 × 0.238787770060559 × 6371000     		du = 74677.4751521456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34112525)-sin(1.32967901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.238787770060559)×R²
    abs(1.03083509-0.98174770)×0.0111305203234405×R²
    0.0490873900000001×0.0111305203234405×6371000²
    0.0490873900000001×0.0111305203234405×40589641000000     		ar = 5318916904.19288m²