Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 840 / 1224
↖ ↑ ↗
← S 33.137551°
W 32.343750°		 ← 16.367 km → S 33.137551°
W 32.167969°		 →
↑
16.353 km
↓
↑
16.353 km
↓
S 33.284620°
W 32.343750°		 ← 16.340 km →
267.431 km²		 S 33.284620°
W 32.167969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410400390625 y=0.597900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410400390625 × 211)
    floor (0.410400390625 × 2048)
    floor (840.5)     		tx = 840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597900390625 × 211)
    floor (0.597900390625 × 2048)
    floor (1224.5)     		ty = 1224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 840 / 1224 ti = "11/840/1224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/840/1224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 840 ÷ 211
    840 ÷ 2048     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1224 ÷ 211
    1224 ÷ 2048     		y = 0.59765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59765625 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613592315136719))-π/2
    2×atan(0.541402483226244)-π/2
    2×0.496218476227484-π/2
    0.992436952454969-1.57079632675     		φ = -0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 840 KachelY 1224 -0.56450493 -0.57835937 -32.343750 -33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 841 KachelY 1224 -0.56143697 -0.57835937 -32.167969 -33.137551
    Unten links KachelX 840 KachelY + 1 1225 -0.56450493 -0.58092621 -32.343750 -33.284620
    Unten rechts KachelX + 1 841 KachelY + 1 1225 -0.56143697 -0.58092621 -32.167969 -33.284620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57835937--0.58092621) × R
    0.00256683999999996 × 6371000     		dl = 16353.3376399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57835937--0.58092621) × R
    0.00256683999999996 × 6371000     		dr = 16353.3376399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56143697) × cos(-0.57835937) × R
    0.00306795999999998 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 16367.0283656824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56143697) × cos(-0.58092621) × R
    0.00306795999999998 × 0.835954705951289 × 6371000     		du = 16339.5482454995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57835937)-sin(-0.58092621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.835954705951289)×R²
    abs(-0.56143697--0.56450493)×0.00140592233284997×R²
    0.00306795999999998×0.00140592233284997×6371000²
    0.00306795999999998×0.00140592233284997×40589641000000     		ar = 267430992.020096m²