Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 840 / 1352
↖ ↑ ↗
← S 49.837983°
W 32.343750°		 ← 12.606 km → S 49.837983°
W 32.167969°		 →
↑
12.591 km
↓
↑
12.591 km
↓
S 49.951220°
W 32.343750°		 ← 12.577 km →
158.544 km²		 S 49.951220°
W 32.167969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410400390625 y=0.660400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410400390625 × 211)
    floor (0.410400390625 × 2048)
    floor (840.5)     		tx = 840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660400390625 × 211)
    floor (0.660400390625 × 2048)
    floor (1352.5)     		ty = 1352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 840 / 1352 ti = "11/840/1352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/840/1352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 840 ÷ 211
    840 ÷ 2048     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1352 ÷ 211
    1352 ÷ 2048     		y = 0.66015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66015625 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00629139682422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00629139682422))-π/2
    2×atan(0.365572231021132)-π/2
    2×0.350479720227978-π/2
    0.700959440455956-1.57079632675     		φ = -0.86983689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86983689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.837983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 840 KachelY 1352 -0.56450493 -0.86983689 -32.343750 -49.837983
    Oben rechts KachelX + 1 841 KachelY 1352 -0.56143697 -0.86983689 -32.167969 -49.837983
    Unten links KachelX 840 KachelY + 1 1353 -0.56450493 -0.87181325 -32.343750 -49.951220
    Unten rechts KachelX + 1 841 KachelY + 1 1353 -0.56143697 -0.87181325 -32.167969 -49.951220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86983689--0.87181325) × R
    0.00197636000000001 × 6371000     		dl = 12591.3895600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86983689--0.87181325) × R
    0.00197636000000001 × 6371000     		dr = 12591.3895600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56143697) × cos(-0.86983689) × R
    0.00306795999999998 × 0.644951208354603 × 6371000     		do = 12606.1990080086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56143697) × cos(-0.87181325) × R
    0.00306795999999998 × 0.643439568499962 × 6371000     		du = 12576.6525359822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86983689)-sin(-0.87181325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644951208354603-0.643439568499962)×R²
    abs(-0.56143697--0.56450493)×0.00151163985464098×R²
    0.00306795999999998×0.00151163985464098×6371000²
    0.00306795999999998×0.00151163985464098×40589641000000     		ar = 158543598.616941m²