Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 840 / 840
↖ ↑ ↗
← S 74.775843°
E115.312500°		 ← 10.265 km → S 74.775843°
E115.664063°		 →
↑
10.235 km
↓
↑
10.235 km
↓
S 74.867889°
E115.312500°		 ← 10.205 km →
104.757 km²		 S 74.867889°
E115.664063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82080078125 y=0.82080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82080078125 × 210)
    floor (0.82080078125 × 1024)
    floor (840.5)     		tx = 840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.82080078125 × 210)
    floor (0.82080078125 × 1024)
    floor (840.5)     		ty = 840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 840 / 840 ti = "10/840/840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/840/840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 840 ÷ 210
    840 ÷ 1024     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 840 ÷ 210
    840 ÷ 1024     		y = 0.8203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8203125 × 2 - 1) × π
    -0.640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.01258279364844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.01258279364844))-π/2
    2×atan(0.133643056093768)-π/2
    2×0.132855832696167-π/2
    0.265711665392335-1.57079632675     		φ = -1.30508466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.30508466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.775843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 840 KachelY 840 2.01258279 -1.30508466 115.312500 -74.775843
    Oben rechts KachelX + 1 841 KachelY 840 2.01871872 -1.30508466 115.664063 -74.775843
    Unten links KachelX 840 KachelY + 1 841 2.01258279 -1.30669117 115.312500 -74.867889
    Unten rechts KachelX + 1 841 KachelY + 1 841 2.01871872 -1.30669117 115.664063 -74.867889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.30508466--1.30669117) × R
    0.00160651000000001 × 6371000     		dl = 10235.07521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.30508466--1.30669117) × R
    0.00160651000000001 × 6371000     		dr = 10235.07521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01871872) × cos(-1.30508466) × R
    0.00613592999999968 × 0.262596026053888 × 6371000     		do = 10265.4064843362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01871872) × cos(-1.30669117) × R
    0.00613592999999968 × 0.261045556936891 × 6371000     		du = 10204.7955300634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.30508466)-sin(-1.30669117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262596026053888-0.261045556936891)×R²
    abs(2.01871872-2.01258279)×0.0015504691169963×R²
    0.00613592999999968×0.0015504691169963×6371000²
    0.00613592999999968×0.0015504691169963×40589641000000     		ar = 104757051.12101m²