Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84001 / 18465
↖ ↑ ↗
← N 78.043226°
E 50.715637°		 ← 63.28 m → N 78.043226°
E 50.718384°		 →
↑
63.26 m
↓
↑
63.26 m
↓
N 78.042657°
E 50.715637°		 ← 63.28 m →
4 003 m²		 N 78.042657°
E 50.718384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640880584716797 y=0.140880584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640880584716797 × 217)
    floor (0.640880584716797 × 131072)
    floor (84001.5)     		tx = 84001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140880584716797 × 217)
    floor (0.140880584716797 × 131072)
    floor (18465.5)     		ty = 18465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84001 / 18465 ti = "17/84001/18465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84001/18465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84001 ÷ 217
    84001 ÷ 131072     		x = 0.640876770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18465 ÷ 217
    18465 ÷ 131072     		y = 0.140876770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640876770019531 × 2 - 1) × π
    0.281753540039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.88515485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140876770019531 × 2 - 1) × π
    0.718246459960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.25643780201566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88515485} λ = 0.88515485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25643780201566))-π/2
    2×atan(9.54901303484841)-π/2
    2×1.46645379025412-π/2
    2.93290758050824-1.57079632675     		φ = 1.36211125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88515485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.715637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36211125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.043226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84001 KachelY 18465 0.88515485 1.36211125 50.715637 78.043226
    Oben rechts KachelX + 1 84002 KachelY 18465 0.88520279 1.36211125 50.718384 78.043226
    Unten links KachelX 84001 KachelY + 1 18466 0.88515485 1.36210132 50.715637 78.042657
    Unten rechts KachelX + 1 84002 KachelY + 1 18466 0.88520279 1.36210132 50.718384 78.042657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36211125-1.36210132) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dl = 63.2640300002985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36211125-1.36210132) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dr = 63.2640300002985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88515485-0.88520279) × cos(1.36211125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207173684455659 × 6371000     		do = 63.2761758833547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88515485-0.88520279) × cos(1.36210132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207183399005931 × 6371000     		du = 63.2791429570604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36211125)-sin(1.36210132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207173684455659-0.207183399005931)×R²
    abs(0.88520279-0.88515485)×9.71455027212742e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.71455027212742e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.71455027212742e-06×40589641000000     		ar = 4003.19974404272m²