Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84002 / 18466
↖ ↑ ↗
← N 78.042657°
E 50.718384°		 ← 63.28 m → N 78.042657°
E 50.721131°		 →
↑
63.26 m
↓
↑
63.26 m
↓
N 78.042088°
E 50.718384°		 ← 63.28 m →
4 003 m²		 N 78.042088°
E 50.721131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640888214111328 y=0.140888214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640888214111328 × 217)
    floor (0.640888214111328 × 131072)
    floor (84002.5)     		tx = 84002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140888214111328 × 217)
    floor (0.140888214111328 × 131072)
    floor (18466.5)     		ty = 18466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84002 / 18466 ti = "17/84002/18466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84002/18466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84002 ÷ 217
    84002 ÷ 131072     		x = 0.640884399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18466 ÷ 217
    18466 ÷ 131072     		y = 0.140884399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640884399414062 × 2 - 1) × π
    0.281768798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88520279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140884399414062 × 2 - 1) × π
    0.718231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25638986511604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88520279} λ = 0.88520279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25638986511604))-π/2
    2×atan(9.54855529574047)-π/2
    2×1.46644882450571-π/2
    2.93289764901142-1.57079632675     		φ = 1.36210132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88520279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.718384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36210132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.042657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84002 KachelY 18466 0.88520279 1.36210132 50.718384 78.042657
    Oben rechts KachelX + 1 84003 KachelY 18466 0.88525073 1.36210132 50.721131 78.042657
    Unten links KachelX 84002 KachelY + 1 18467 0.88520279 1.36209139 50.718384 78.042088
    Unten rechts KachelX + 1 84003 KachelY + 1 18467 0.88525073 1.36209139 50.721131 78.042088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36210132-1.36209139) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dl = 63.2640300002985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36210132-1.36209139) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dr = 63.2640300002985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88520279-0.88525073) × cos(1.36210132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207183399005931 × 6371000     		do = 63.2791429570604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88520279-0.88525073) × cos(1.36209139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207193113535774 × 6371000     		du = 63.2821100245264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36210132)-sin(1.36209139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207183399005931-0.207193113535774)×R²
    abs(0.88525073-0.88520279)×9.71452984283028e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.71452984283028e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.71452984283028e-06×40589641000000     		ar = 4003.3874526857m²