Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84032 / 116800
↖ ↑ ↗
← S 80.208652°
E 50.800782°		 ← 51.93 m → S 80.208652°
E 50.803528°		 →
↑
51.92 m
↓
↑
51.92 m
↓
S 80.209119°
E 50.800782°		 ← 51.93 m →
2 696 m²		 S 80.209119°
E 50.803528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641117095947266 y=0.891117095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641117095947266 × 217)
    floor (0.641117095947266 × 131072)
    floor (84032.5)     		tx = 84032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891117095947266 × 217)
    floor (0.891117095947266 × 131072)
    floor (116800.5)     		ty = 116800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84032 / 116800 ti = "17/84032/116800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84032/116800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84032 ÷ 217
    84032 ÷ 131072     		x = 0.64111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116800 ÷ 217
    116800 ÷ 131072     		y = 0.89111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64111328125 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89111328125 × 2 - 1) × π
    -0.7822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.45743722212256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88664090} λ = 0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45743722212256))-π/2
    2×atan(0.0856541825705823)-π/2
    2×0.0854456285829976-π/2
    0.170891257165995-1.57079632675     		φ = -1.39990507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39990507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.208652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84032 KachelY 116800 0.88664090 -1.39990507 50.800782 -80.208652
    Oben rechts KachelX + 1 84033 KachelY 116800 0.88668883 -1.39990507 50.803528 -80.208652
    Unten links KachelX 84032 KachelY + 1 116801 0.88664090 -1.39991322 50.800782 -80.209119
    Unten rechts KachelX + 1 84033 KachelY + 1 116801 0.88668883 -1.39991322 50.803528 -80.209119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39990507--1.39991322) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dl = 51.9236499999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39990507--1.39991322) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dr = 51.9236499999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88664090-0.88668883) × cos(-1.39990507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.170060690877121 × 6371000     		do = 51.9300777894721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88664090-0.88668883) × cos(-1.39991322) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17005265958771 × 6371000     		du = 51.927625338634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39990507)-sin(-1.39991322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170060690877121-0.17005265958771)×R²
    abs(0.88668883-0.88664090)×8.03128941093134e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.03128941093134e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.03128941093134e-06×40589641000000     		ar = 2696.3355134923m²