Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84032 / 18497
↖ ↑ ↗
← N 78.025004°
E 50.800782°		 ← 63.36 m → N 78.025004°
E 50.803528°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.024434°
E 50.800782°		 ← 63.36 m →
4 012 m²		 N 78.024434°
E 50.803528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641117095947266 y=0.141124725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641117095947266 × 217)
    floor (0.641117095947266 × 131072)
    floor (84032.5)     		tx = 84032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141124725341797 × 217)
    floor (0.141124725341797 × 131072)
    floor (18497.5)     		ty = 18497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84032 / 18497 ti = "17/84032/18497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84032/18497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84032 ÷ 217
    84032 ÷ 131072     		x = 0.64111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18497 ÷ 217
    18497 ÷ 131072     		y = 0.141120910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64111328125 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141120910644531 × 2 - 1) × π
    0.717758178710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.25490382122782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88664090} λ = 0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25490382122782))-π/2
    2×atan(9.53437626144484)-π/2
    2×1.4662947707433-π/2
    2.9325895414866-1.57079632675     		φ = 1.36179321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36179321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.025004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84032 KachelY 18497 0.88664090 1.36179321 50.800782 78.025004
    Oben rechts KachelX + 1 84033 KachelY 18497 0.88668883 1.36179321 50.803528 78.025004
    Unten links KachelX 84032 KachelY + 1 18498 0.88664090 1.36178327 50.800782 78.024434
    Unten rechts KachelX + 1 84033 KachelY + 1 18498 0.88668883 1.36178327 50.803528 78.024434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36179321-1.36178327) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36179321-1.36178327) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88664090-0.88668883) × cos(1.36179321) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207484813833398 × 6371000     		do = 63.3579839463772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88664090-0.88668883) × cos(1.36178327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207494537511242 × 6371000     		du = 63.3609531883828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36179321)-sin(1.36178327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207484813833398-0.207494537511242)×R²
    abs(0.88668883-0.88664090)×9.72367784426997e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.72367784426997e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.72367784426997e-06×40589641000000     		ar = 4012.41195203871m²