Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84034 / 18498
↖ ↑ ↗
← N 78.024434°
E 50.806274°		 ← 63.37 m → N 78.024434°
E 50.809021°		 →
↑
63.39 m
↓
↑
63.39 m
↓
N 78.023864°
E 50.806274°		 ← 63.38 m →
4 017 m²		 N 78.023864°
E 50.809021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641132354736328 y=0.141132354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641132354736328 × 217)
    floor (0.641132354736328 × 131072)
    floor (84034.5)     		tx = 84034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141132354736328 × 217)
    floor (0.141132354736328 × 131072)
    floor (18498.5)     		ty = 18498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84034 / 18498 ti = "17/84034/18498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84034/18498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84034 ÷ 217
    84034 ÷ 131072     		x = 0.641128540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18498 ÷ 217
    18498 ÷ 131072     		y = 0.141128540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641128540039062 × 2 - 1) × π
    0.282257080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88673677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141128540039062 × 2 - 1) × π
    0.717742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2548558843282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88673677} λ = 0.88673677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2548558843282))-π/2
    2×atan(9.53391922396163)-π/2
    2×1.46628979753746-π/2
    2.93257959507492-1.57079632675     		φ = 1.36178327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88673677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.806274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36178327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.024434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84034 KachelY 18498 0.88673677 1.36178327 50.806274 78.024434
    Oben rechts KachelX + 1 84035 KachelY 18498 0.88678471 1.36178327 50.809021 78.024434
    Unten links KachelX 84034 KachelY + 1 18499 0.88673677 1.36177332 50.806274 78.023864
    Unten rechts KachelX + 1 84035 KachelY + 1 18499 0.88678471 1.36177332 50.809021 78.023864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36178327-1.36177332) × R
    9.95000000014734e-06 × 6371000     		dl = 63.3914500009387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36178327-1.36177332) × R
    9.95000000014734e-06 × 6371000     		dr = 63.3914500009387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88673677-0.88678471) × cos(1.36178327) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.207494537511242 × 6371000     		do = 63.374172665434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88673677-0.88678471) × cos(1.36177332) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.207504270950926 × 6371000     		du = 63.3771455084524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36178327)-sin(1.36177332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207494537511242-0.207504270950926)×R²
    abs(0.88678471-0.88673677)×9.73343968435625e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.73343968435625e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.73343968435625e-06×40589641000000     		ar = 4017.47492432709m²