Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84048 / 18512
↖ ↑ ↗
← N 78.016453°
E 50.844727°		 ← 63.40 m → N 78.016453°
E 50.847473°		 →
↑
63.39 m
↓
↑
63.39 m
↓
N 78.015883°
E 50.844727°		 ← 63.41 m →
4 019 m²		 N 78.015883°
E 50.847473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641239166259766 y=0.141239166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641239166259766 × 217)
    floor (0.641239166259766 × 131072)
    floor (84048.5)     		tx = 84048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141239166259766 × 217)
    floor (0.141239166259766 × 131072)
    floor (18512.5)     		ty = 18512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84048 / 18512 ti = "17/84048/18512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84048/18512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84048 ÷ 217
    84048 ÷ 131072     		x = 0.6412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18512 ÷ 217
    18512 ÷ 131072     		y = 0.1412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6412353515625 × 2 - 1) × π
    0.282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88740789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1412353515625 × 2 - 1) × π
    0.717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25418476773352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88740789} λ = 0.88740789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25418476773352))-π/2
    2×atan(9.52752299910447)-π/2
    2×1.46622014816313-π/2
    2.93244029632626-1.57079632675     		φ = 1.36164397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88740789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.844727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36164397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.016453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84048 KachelY 18512 0.88740789 1.36164397 50.844727 78.016453
    Oben rechts KachelX + 1 84049 KachelY 18512 0.88745582 1.36164397 50.847473 78.016453
    Unten links KachelX 84048 KachelY + 1 18513 0.88740789 1.36163402 50.844727 78.015883
    Unten rechts KachelX + 1 84049 KachelY + 1 18513 0.88745582 1.36163402 50.847473 78.015883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36164397-1.36163402) × R
    9.95000000014734e-06 × 6371000     		dl = 63.3914500009387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36164397-1.36163402) × R
    9.95000000014734e-06 × 6371000     		dr = 63.3914500009387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88740789-0.88745582) × cos(1.36164397) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207630803797017 × 6371000     		do = 63.4025637380277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88740789-0.88745582) × cos(1.36163402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207640536949006 × 6371000     		du = 63.4055358730772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36164397)-sin(1.36163402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207630803797017-0.207640536949006)×R²
    abs(0.88745582-0.88740789)×9.73315198848912e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.73315198848912e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.73315198848912e-06×40589641000000     		ar = 4019.27465312345m²