Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84096 / 84096
↖ ↑ ↗
← S 45.336702°
E 50.976563°		 ← 214.65 m → S 45.336702°
E 50.979309°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 45.338633°
E 50.976563°		 ← 214.64 m →
46 085 m²		 S 45.338633°
E 50.979309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641605377197266 y=0.641605377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641605377197266 × 217)
    floor (0.641605377197266 × 131072)
    floor (84096.5)     		tx = 84096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641605377197266 × 217)
    floor (0.641605377197266 × 131072)
    floor (84096.5)     		ty = 84096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84096 / 84096 ti = "17/84096/84096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84096/84096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84096 ÷ 217
    84096 ÷ 131072     		x = 0.6416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84096 ÷ 217
    84096 ÷ 131072     		y = 0.6416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    -0.283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.889708856948242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88970886} λ = 0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889708856948242))-π/2
    2×atan(0.410775329727582)-π/2
    2×0.389760803244313-π/2
    0.779521606488627-1.57079632675     		φ = -0.79127472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79127472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.336702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84096 KachelY 84096 0.88970886 -0.79127472 50.976563 -45.336702
    Oben rechts KachelX + 1 84097 KachelY 84096 0.88975679 -0.79127472 50.979309 -45.336702
    Unten links KachelX 84096 KachelY + 1 84097 0.88970886 -0.79130842 50.976563 -45.338633
    Unten rechts KachelX + 1 84097 KachelY + 1 84097 0.88975679 -0.79130842 50.979309 -45.338633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79127472--0.79130842) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dl = 214.702700000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79127472--0.79130842) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dr = 214.702700000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88970886-0.88975679) × cos(-0.79127472) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.702939242531099 × 6371000     		do = 214.650954065593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88970886-0.88975679) × cos(-0.79130842) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.702915273010287 × 6371000     		du = 214.64363468406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79127472)-sin(-0.79130842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702939242531099-0.702915273010287)×R²
    abs(0.88975679-0.88970886)×2.39695208111845e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39695208111845e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39695208111845e-05×40589641000000     		ar = 46085.3536543982m²